какую функцию называют степенной
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №18. Степенная функция. Дробно-линейная функция.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) понятие степенной функции;
2) основные свойства функций 
и 
;
3) понятия взаимно обратной и дробно- линейной функций;
4) особенности построения графика дробно-линейной функции.
Определение. Функция вида 
, где n- любое действительное число, называют степенной функцией.
Определение. Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
При n=1, y=x 1 или y=x — прямая (Рисунок 1).
Рисунок 1 – график функции y=x 1
При n=2, y=x 2 — парабола.
При n=3, y=x 3 — кубическая парабола.
Функции такого вида называются дробно-линейными.
Рассмотрим графики степенных функций y=x m/n с положительным дробным показателем m/n.
1. Степенная функция 
, где 
> неправильная дробь (числитель больше знаменателя).
График — ветвь параболы:
Рисунок 6 – 
, где 
Свойства функции 
, где 
3. не является ни чётной, ни нечётной;
4. возрастает при x∈[0;+∞);
5. не имеет наибольшего значения, yнаим=0;
6. не ограничена сверху, ограничена снизу;
2. Степенная функция 
, где 
— правильная дробь (числитель меньше знаменателя).
Свойства функции 
, где 
3. не является ни чётной, ни нечётной;
4. возрастает при x∈[0;+∞);
5. не имеет наибольшего значения, yнаим=0;
6. не ограничена сверху, ограничена снизу;
Рассмотрим степенные функции с отрицательным дробным показателем степени 
График — ветвь гиперболы.
График имеет горизонтальную асимптоту у=0 и вертикальную асимптоту х=0.
Свойства функции 
.
3. не является ни чётной, ни нечётной;
5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
6. не ограничена сверху, ограничена снизу;
Итак, на основании всего вышеперечисленного, можно сделать вывод в виде таблицы:
Рассмотрим еще одну функцию.
Определение. Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).
Если функция y=f(x), x∈X монотонна на множестве X, то она обратима.
Точки M(a;b) и P(b;a) симметричны относительно прямой y=x.
Нахождение формулы для функции, обратной данной
Пользуясь формулой y=f(x), следует выразить x через y, а в полученной формуле x=g(y) заменить x на y, а y на x.
Заданная функция возрастает на промежутке [0;+∞), значит, она имеет обратную функцию. Из уравнения y=x 2 находим: 
или 
. Промежутку [0;+∞) принадлежат лишь значения функции 
. Это и есть обратная функция, которая определена на промежутке [0;+∞).
Рисунок 9 – график функции, обратной y=x 2
Разборы и примеры решения заданий тренировочного модуля
Изобразите схематически график функции 
Графиком данной функции является гипербола.
Функция. Степенная функция.
Так как нулевая степень всякого числа, не равного нулю, равна единице, то при n = 0 степенная функция становится постоянной величиной, т.е. у = а. Поясним подробнее: выражение ноль в нулевой степени неопределенно, в том случае, когда функция у = ax 0 для всех значений х, естественно кроме нуля, равна а, и следовательно, если х = 0, то у = а. В таком случае график представлен прямой линией, параллельной оси абсцисс).
Остальные случаи делятся на группы:
Видны графики функции у = х n при n = 0,1; 1/4; 1/3; 1/2; 2/3; 1;3/2; 2 ; 3; 4; 10. Все они проходят через начало координат и точку (1; 1).
При n = 1 получаем прямую являющуюся биссектрисой угла х0у.
При n > 1 график образуется сначала между х = 0 и х = 1, несколько ниже этой прямой, а затем при х > 1, выше ее.
По аналогии с графиком функции у = ах 2 графики всех степенных функций у = ах n при положительном n называют параболами n-го порядка или n-й степени. Так, график функции у = ах 3 называется параболой 3-го порядка или кубической параболой.
В случае если n дробное число p/q с четным знаменателем q и нечетным числителем р, то величина 
может иметь два знака 
, а у графика появляется еще одна часть внизу оси абсцисс х, причем она симметрична верхней части.
Все графики неограниченно приближаются как к оси абсцисс х, так и к оси ординат у, не соприкасаясь с ними. Вследствие сходства с гиперболой эти графики называют гиперболами n -го порядка.
Степенная функция
Вы будете перенаправлены на Автор24
Для удобства рассмотрения степенной функции будем рассматривать 4 отдельных случая: степенная функция с натуральным показателем, степенная функция с целым показателем, степенная функция с рациональным показателем и степенная функция с иррациональным показателем.
Степенная функция с натуральным показателем
Для начала введем понятие степени с натуральным показателем.
Рассмотрим теперь степенную функцию с натуральным показателем, её свойства и график.
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ называется степенной функцией с натуральным показателем.
Свойства степенной функции с натуральным четным показателем
$f(x)\ge 0$ на всей области определения
Функция выпукла на всей области определения.
Поведение на концах области определения:
Готовые работы на аналогичную тему
Свойства степенной функции с натуральным нечетным показателем
Функция возрастает на всей области определения.
\[2\left(2n-1\right)\left(n-1\right)\cdot x^<2n-3>=0\] \[x=0\]
Степенная функция с целым показателем
Для начала введем понятие степени с целым показателем.
Рассмотрим теперь степенную функцию с целым показателем, её свойства и график.
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ называется степенной функцией с целым показателем.
Свойства степенной функции с отрицательным целым показателем
Если показатель четный, то функция четна, если нечетный, то функция нечетна.
$f(x)\ge 0$ на всей области определения
Степенная функция с рациональным и иррациональным показателем
$f\left(x\right)=x^r$ ($r\in Q)$ называется степенной функцией с рациональным показателем.
$f\left(x\right)=x^r$ ($r\in J)$ называется степенной функцией с иррациональным показателем.
Приведем графики степенных функций с рациональным и иррациональным показателем (рис. 5). Рассмотреть, аналогично, свойства этих функции оставим читателю.
Степенная функция
Содержание
Вещественная функция
Область определения
Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при 
0″ border=»0″ />. Если 
0″ border=»0″ />, то функция определена также и при 
, иначе нуль является её особой точкой.
Рациональный показатель степени
Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период T обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты соотношением: 
(полукубическая парабола).
Свойства
Комплексная функция
Степенная функция комплексного переменного z, вообще говоря, определяется формулой [3] :
Здесь показатель степени c — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение 
равно 
где k — произвольное целое, а его главное значение есть 
Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.
См. также
Литература
Ссылки
Примечания
Полезное
Смотреть что такое «Степенная функция» в других словарях:
Степенная функция — функция f (x) = ха, где а фиксированное число (см. Степень). При действительных значениях основания х и показателя а обычно рассматривают лишь действительные значения С. ф. xa. Они существуют, во всяком случае, для всех х > 0; если а… … Большая советская энциклопедия
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ — функция вида y = axn, где a и n любые действительные числа … Большой Энциклопедический словарь
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ — ф ция вида у = ахn, где а и п действит. числа, С. ф. охватывает большое число закономерностей в природе. На рис. изображены графики С. ф. для п = 1, 2, 3, 1/2 и а = 1. К ст. Степенная функция … Большой энциклопедический политехнический словарь
степенная функция — функция вида у=axn, где а и n любые действительные числа. На рисунке изображены графики степенной функции для n = 1, 2, 3, 1/2 и а = 1. * * * СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ, функция вида y = axn, где a и n любые действительные числа … Энциклопедический словарь
степенная функция — laipsninė funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. power function vok. Potenzfunktion, f rus. степенная функция, f pranc. fonction puissance, f … Automatikos terminų žodynas
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ — функция вида у = ахn, где а и п любые действительные числа. На рис. изображены графики С. ф. для n= 1, 2, 3, 1/2 и a=1 … Естествознание. Энциклопедический словарь
функция спроса — Функция, которая показывает, как меняется объем продаж конкретного продукта в зависимости от его цены при равных маркетинговых усилиях по его продвижению на рынок. [http://www.lexikon.ru/dict/fin/a.html] функция спроса Функция, отражающая… … Справочник технического переводчика
Функция спроса — [demand function] функция, отражающая зависимость объема спроса на отдельные товары и услуги (потребительские блага) от комплекса факторов, влияющих на него. Более узкая трактовка: Ф.с.выражает взаимозависимость между спросом на товар и ценой… … Экономико-математический словарь
Степенная функция, её свойства и график.
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
2) Область значений функции – множество неотрицательных чисел, если :
множество неположительных чисел, если :
На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с чётным натуральным показателем, а на правом рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
2) Область значений функции – множество всех действительных чисел: Е( y ) = (−; +).
3) Значит, функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.
На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с нечётным натуральным показателем, а на правом – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием. 
множество всех отрицательных чисел, если : Е( y ) = (-; 0).
Если функция убывает при х (- ; 0), возрастает при х (0; + ).
На первом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с чётным целым отрицательным показателем, а на втором рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
1) Область определения функции:
2) Область значений функции:
3) Значит, функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.
На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с нечётным целым отрицательным показателем, а на правом рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием. 
1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:
3) Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.
На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде положительной правильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием. 
1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:
3) Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.
На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде положительной неправильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:
3) Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.
На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде отрицательной правильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:
3) Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.
4) Если функция убывает при х ;
На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде отрицательной неправильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.