чевиана это что такое

Содержание

Длина

Теорема Стюарта

Длину чевиана можно определить по теореме Стюарта : на диаграмме длина чевиана d определяется формулой

Реже это также представлено мнемоническим

Медиана

Если чевиана является срединной (таким образом, делит сторону пополам ), ее длину можно определить по формуле

Следовательно, в этом случае

Биссектриса угла

Высота

Если чевиан находится на высоте и, следовательно, перпендикулярен стороне, его длина подчиняется формулам

где полупериметр s = ( a + b + c ) / 2.

Соотношение свойств

Существуют различные свойства соотношений длин, образованных тремя чевианами, проходящими через одну и ту же произвольную внутреннюю точку: Ссылаясь на диаграмму справа,

Эти два последних свойства эквивалентны, поскольку суммирование двух уравнений дает тождество 1 + 1 + 1 = 3.

Сплиттер

Биссектрисы площади

Три биссектрисы площади треугольника являются его медианами, которые соединяют вершины с серединами противоположных сторон. Таким образом, треугольник с равномерной плотностью в принципе уравновешивается на бритве, поддерживающей любую из средних.

Трисектора углов

Площадь внутреннего треугольника, образованного чевианами

Теорема Рауса определяет отношение площади данного треугольника к площади треугольника, образованного попарными пересечениями трех чевианов, по одному от каждой вершины.

Источник

Теоремы Чевы и Менелая – одни из базовых основ планиметрии и геометрии, которым репетиторы и школьные учителя уделяют особое внимание, а ученикам задают писать научные доклады и рефераты на эту тему в качестве домашнего задания.

Их изучение рекомендуется не только в том случае, если вы – математик, но и в помощь ученикам старшего уровня (по уровню сложности может подойти и любой средний класс) и студентам профильных специальностей, которые всерьёз интересуются данной наукой.

Именно для этого мы подготовили данный материал. В нем вы узнаете, чем интересны данные основы, принципы их доказательств и рассмотрите решения некоторых задач из ЕГЭ.

Формулировка теоремы Менелая

Менелай Александрийский — древнегреческий математик и астроном, живший в I в. Большой вклад внес в развитие сферической тригонометрии, где для получения формул использовал именно эту теорему, которую теперь изучают все школьники.

Прежде чем приступить к проработке, сделаем соответствующий рисунок.

Что мы имеем? Треугольник ABC и прямую, которая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны.

Особенность теоремы заключается и в том, что приведённый рисунок чаще всего встречается в заданиях формата ЕГЭ. Это – весьма распространённая геометрическая конструкция, когда какая-то прямая таким образом пересекает треугольник.

Если мы видим приведённый выше рисунок, можно записать формулу:

Доказательство теоремы

Для доказательства теоремы Менелая проведём через точку C прямую, параллельную AB, таким образом:

Обозначим точку пересечения данной прямой с B₁C₁ через точку D.

В таком случае мы получим несколько пар подобных треугольников.

Сторона CD параллельна AB. Тогда первой парой подобных треугольников будут треугольники B₁CD и B₁AC₁. Они подобны по второму признаку подобия треугольников, то есть по двум пропорциональным сторонам и углу B₁ между ними.

Углы B₁CD и B₁AC₁ равны как соответственные при параллельных прямых CD, AB и секущей AC.

Анализируя данную пару подобных треугольников, можно записать условие пропорциональности сходственных сторон, а именно:

Так как сторона CD не является составляющей исходного равенства, для дальнейшего доказательства её нужно выразить.

Используя описанное равенства, применив свойства пропорции, запишем:

Запишем следующую пару подобных треугольников: треугольники CDA₁ и BC₁A₁ подобны, так как углы CA₁D и BA₁C₁ равны как вертикальные. Кроме этого, угол CDA₁ равен углу BC₁A₁, как накрест лежащие при параллельных прямых CD, AB и секущей C₁D.

Покажем это на рисунке:

Из данного подобия можно записать некоторую пропорциональность сходственных сторон:

Осталось лишь приравнять. Дроби, с помощью которых мы выразили CD – равны.

Таким образом получаем:

Умножив обе дроби на часть, обратную левой дроби, мы получили исходное равенство:

Что и требовалось доказать.

Формулировка теоремы Чевы

Джованни Чева — итальянский математик, инженер. Годы жизни 1648 — 1734 гг. Основные труды ученого в области геометрии и механики.

Рассматриваемая теорема была доказана ученым в 1678 г.

Рассмотрим приведённый ниже рисунок:

Теорема звучит так: любые произвольные отрезки, выходящие из вершин треугольника, (но с одним условием: они должны пересекаться в одной точке) делят противолежащие этим вершинам стороны таким образом, что истинно равенство:

В честь ученого, доказавшего эту теорему, данные отрезки называют «чевианами».

Доказательство теоремы

Итак, мы имеем треугольник ABC и произвольные чевианы AA1 и BB1.

Третья чевиана CC1 обязательно должна проходить через точку пересечения первых двух. При этом получается, что:

Обозначим за O точку пересечения данных прямых.

Продлим медиану BB1.

Проведём перпендикуляры из вершин A и С таким образом:

Треугольники AKB₁ и CNB₁ подобны по острому углу.

Теперь перемножим равенства:

что и требовалось доказать.

Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Теорема Менелая (как и обратная) применима и в первой части экзаменационного бланка, и в 16-м задании. Рассмотрим пару таких задач.

Задача 1

Дан треугольник ABC (см. рисунок ниже) с продолжением стороны CA. Также проведены медианы BM и AN. Точку их пересечения обозначим за O.

Возьмём точку K на стороне AB, такую, что AK относится к AB, как 1/3.

Проведём прямую OK до пересечения со стороной AC. Точку их пересечения обозначим за P.

Сторону AP обозначим за y.

Найти: чему равен отрезок AP.

Так как отношение сторон AB и AK равно 1/3, следовательно, AK = x, а KB = 3x.

Рассмотрим треугольник ABM. Для него берём прямую OP.

Таким образом мы нашли искомые точки P, A, M, O, K и B.

Запишем теорему Менелая к данному рисунку.

Подставляем в это соотношение известные данные:

В итоге мы получаем, что y = 4.

Ответ: отрезок AP = 4 см.

Задача 2

Задача, связанная со свойствами теоремы Чевы.

сумма AB и BC равна 13;

Найти: отношение BO и OB1.

Итак, запишем отношение:

Конечным результатом является дробь 13/8.

Источник

Свойства конкурентных Чевиан треугольника

Каждому школьнику известно, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. Я заинтересовался: а будет ли это свойство выполняться для любых трех конкурентных чевиан.

1. Если чевианами являются медианы, то ответ очевиден, так как два равновеликих треугольника с общей высотой имеют равные стороны, к которым эта сторона проведена.

Правда в этом утверждении участвует много треугольников, площади которых нужно сравнивать, и возникает желание уменьшить их число. Этого можно добиться, если сначала установить следующий критерий: точка G внутри треугольника ABC принадлежит медиане AD тогда и только тогда, когда [ABG] = [CAG], где [Ф] здесь и далее обозначает площадь фигуры Ф.

Чтобы доказать это утверждение, опустим из вершин B и C треугольников ABG и CAG высоты BK и CL на прямую AD, содержащую их общую сторону AD. Нам нужно установить, что точка G принадлежит медиане AD тогда и только тогда, когда равны треугольники DBK и CLD (а они подобны при любом выборе точки G, так как прямые CL и BK перпендикулярны прямой AM и, следовательно, параллельны).

Доказанный критерий «о мотыльке с равновеликими крыльями» позволяет нам доказать, что, точка G внутри треугольника ABC является точкой пересечения медиан тогда и только тогда, когда равновеликими являются треугольники ABG. BCG и CAG.

Ясно, что если с тремя конкурентными чевианами четыре каких-то маленьких треугольника равновелики, то эти чевианы являются медианами треугольника. Достаточно ли равенства площадей трех любых таких треугольников для того, чтобы точка G оказалась точкой пересечения медиан треугольника?

Рассмотрим три случая.

1. Если три равновеликих треугольника являются соседними и, например, u = z = v, то AD – медиана треугольника ABC, так как GD медиана треугольника BGC. Но треугольник BCE составлен из трех равновеликих треугольников, и поэтому [CBG] = 2[CGE]. Но эта пара треугольников имеет общую вершину и, тем самым, одинаковые высоты. Поэтому BG = 2GE. По теореме о медианах отсюда заключаем, что G – точка пересечения медиан треугольника ABC.

2. Если только два равновеликих треугольника являются соседними (например, u = z = y), то GD – медиана треугольника GBC, то есть D – середина BC. Так как u = y, то y = w = x = u = w = x, то есть [DAB] = [EAB]. Но эта пара треугольников имеет общую сторону AB и поэтому высоты этих треугольников, к ней проведенные, равны. Таким образом, DE║AB, то есть DE – средняя линия треугольника ABC, и поэтому DE – медиана.

3. Пусть теперь у одного из «трилистников» на рис. 3 три «лопасти» равновелики: u = w = v = a. Заметим, что

[GBD]:[GDC] = BD:DC = [ABD]:[ADC], то есть

Аналогично, рассуждая, заключаем, что числа x, y, z, u, v, w удовлетворяют системе уравнений

(*) которая в рассматриваемом случае выглядит так:

Перемножая эти уравнения, имеем: xyz = a3. Сравнивая эти три пары дробей, из системы заключаем, что az + a2 = xy + ax, ax + a2 = yz + ay, ay + a2 = xz + az.

Сложим эти равенства и получим xy + xz + yz = 3a2

Умножая первое уравнение на z, второе на – x, а третье – на y, а затем, складывая полученные равенства, найдем, что a(x2 + y2 + z2) + a2(x + y + z) =

Используя алгебраическое тождество x2 + y2 + z2 = (x + y+ z)2 – 2(xy +xz + yz), из последнего равенства, с учетом полученного выше равенства, заключаем, что x + y + z = 3a и тем самым числа x, y, z удовлетворяют системе уравнений x + y + z = 3a, xy + xz + yz = 3a2. xyz = a3.

Следовательно, по теореме Виета числа x, y, z являются корнями уравнения третьей степени t3 – 3at2 + 3a2t – a3 = 0, то есть уравнения (t – a)3 = 0. Отсюда уже следует, что x = y = z = a.

Что же можно утверждать, если известно, что только два из шести «маленьких треугольников» равновелики?

Решение. Рассмотрим несколько случаев.

Если u = y, то четырехугольник BDEA, как мы убедились выше, является трапецией, и поэтому прямые AC и DE параллельны. Отсюда заключаем, что CF – медиана треугольника ABC. Это следует из того, что отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения ее диагоналей, делится этой точкой пополам.

Наконец, если u = x, то из системы (*) легко следует, что одновременно выполняются равенства x + y + z = u + v + w, xy + yz + xz = uv + vw + uw, xyz = uvw.

Поэтому две тройки чисел (x, y, z) и (u, v, w) являются корнями одного и того же уравнения третьей степени с общим корнем x = u. Следовательно, пары чисел y, z и v, w являются корнями одного и того же квадратного уравнения.

Итак, в рассматриваемом случае возможны два варианта: x = u, y = v, z = w и x = u, y = w, z = v. Если y = v, то BE – медиана треугольника AGC и, следовательно, треугольника ABC. Если y = w и z = v, то из первых двух уравнений системы (*) получаем, что x = y = z, и тем самым, все шесть «маленьких треугольников» равновелики. Таким образом, G – точка пересечения медиан треугольника ABC, и если два равновеликих треугольника принадлежат разным «трилистникам», то одна из чевиан (по крайней мере) является медианой треугольника.

Большой интерес вызвала у меня теорема о площади треугольника, образованного тремя неконкурентными чевианами.

Теорема. Точки D, E, F делят стороны треугольника ABC так, что а чевианы AD, BE, CF пересекаются попарно в точках G, H, K

Для доказательства заметим, что для сравнения [GHK] с [ABC] достаточно сравнить каждую из площадей [AGB], [BCH], [CAK] с площадью треугольника ABC. Так как

[GHK] = [ABC] – [AGB] – [BCH] – [CAK]

Рассмотрим треугольник ABG. В четырехугольнике ABDE он является одним из четырех треугольников, на которые разбивают четырехугольник две диагонали. Для площадей таких треугольников имеет место теорема о бабочках, которая утверждает, что

1) Таким образом, все, что рассмотрено и доказано в научных трудах относится к одному виду чевиан – медианам.

2) Мне интересно найти множество точек G для трех произвольных конкурентных чевиан треугольника, для каждой точки которого площади «трилистников» равны. Для этого я провел следующие исследования:

1. Взял произвольный треугольник и провел в нем три медианы. Этот случай не требует особых измерений, так как по теореме известно, что все шесть треугольников равновелики, а значит и площади «трилистников» одинаковы.

2. Взял тот же произвольный треугольник и провел в нем высоты. В этом случае мне пришлось проводить измерения. Я измерил линейкой длины всех отрезков и вычислил площади треугольник по формуле для прямоугольных треугольников, так как чевианы являются высотами. Пришел к выводу, что площади «трилистников» не равны.

4. Беру вновь тот же треугольник и провожу в нем произвольные чевианы, вновь провожу необходимые измерения, вычисляю площади треугольников по формуле Герона. Прихожу к выводу, что и здесь площади «трилистников» не равны. Еще несколько опытов с конкурентными чевианами не изменили моего вывода.

Эти исследования убеждают меня в том, что площади «трилистников» будут равны только в том случае, когда чевианами являются медианы.

Чтобы увидеть, чем же будет являться все множество точек пересечения конкурентных чевиан, я провел следующий эксперимент: все треугольники, а во всех опытах я брал их равными и налаживал их друг на друга. Беспорядочное расположение точек пересечения конкурентных чевиан позволило мне выдвинуть гипотезу, что если построить достаточно много этих точек, то они заполнят все внутреннее пространство треугольника.

После проведенных опытов я пришел к следующим выводам:

1) Множество точек для трех произвольных конкурентных чевиан является сам треугольник, но без границ.

2) Равенство x + y + z = u + y + z имеет место только для одного вида чевиан – медиан.

В дальнейшем я хочу найти и изучить компьютерную программу, с помощью которой можно провести большое количество опытов для произвольных конкурентных чевиан.

Источник

Чевиана это что такое

Нередко учащиеся 9 и 11 классов сталкиваются с трудностями при решении практических задач на экзамене по математике. Это вторая часть ОГЭ/ЕГЭ, которая является наиболее сложной, и, соответственно, за которую можно набрать хорошее число баллов. Знание теорем Чевы и Менелая может значительно упростить решение таких задач.

Помимо экзаменов, изучение данной темы может помочь на олимпиадах, вступительных испытаниях и просто для погружения в удивительный математический мир.

Объект исследования: геометрические задачи, требующие нахождения отношений длин отрезков, площадей фигур.

Гипотеза: применение теорем Чевы и Менелая при решении многих задач рациональнее, чем другие способы решения.

Цель работы: Доказать теоремы Чевы и Менелая, выяснить, насколько их применение упрощает решение задач на отношение отрезков и площадей фигур.

· Рассмотреть доказательство теорем Чевы и Менелая

· Решить несколько задач с их помощью и другими способами. Выяснить какой из методов рациональнее в каждом конкретном случае

· Создать банк задач, при решении которых применение теорем Чевы и Менелая предпочтительнее.

Результатом исследования является презентация, которая поможет выпускникам 9 и 11 классов познакомится с методом решения задач на нахождение отношений длин отрезков и площадей фигур с помощью теорем Чевы и Менелая.

2.1.1 Кто такой Чева? Джованни Чева (1648-1734 г.)- итальянский инженер и математик. Основной заслугой Чевы является построение учения о секущих, которое положило начало новой – синтетической геометрии; оно изложено в сочинении «О взаимнопересекающихся прямых»(1678).

2.1.2 Что такое чевиана? Определение. Чевианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с произвольной точкой противолежащей стороны, или ее продолжения.

1.1.3 Теорема Чевы
Если на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1 и B1, то отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:

Рассмотрим треугольники AOB1 и COB1

Поскольку их основания лежат на одной прямой, то у этих треугольников общая высота, опущенная из точки O. Отсюда следует, что площади этих треугольников относятся так же, как их основания:

Аналогично можно выписать еще два соотношения:

; и

Перемножая эти три равенства получаем:

Рассмотрим левую часть данного равенства. Запишем её иначе.

Треугольники AOB1 и BOA1 имеют равные углы. Значит, их площади относятся как произведения длин сторон, заключающих эти углы.

То есть:

Аналогично можно выписать еще два соотношения:

и .

Перемножив эти равенства, получаем:

.

Имеем:

Докажем обратное утверждение.

Пусть точки C1, A1, B1 взяты на сторонах так, что выполнено равенство:

(1)

Докажем, что отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке.

Обозначим буквой O точку пересечения отрезков AA1 и BB1 и проведем прямую CO. Она пересекает сторону AB в некоторой точке, которую обозначим C2. Т.к. отрезки AA1, BB1 и CC2 пересекаются в одной точке, то, по доказанному в первом пункте: (2)

Сопоставляя равенства (1) и (2): ,

приходим к равенству ; которое показывает, что точки C1 и C2 делят сторону AB в одном и том же отношении. Следовательно, точки

C1 и C2 совпадают, и, значит, отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O.

1.2 Теорема Менелая

1.2.1 Кто такой Менелай? Древнегреческий математик и астроном. Автор работ по сферической тригонометрии: 6 книг о вычислении хорд и 3 книги «Сферики» (сохранились в арабском переводе). Для получения формул сферической тригонометрии использовал теорему о прямой, пересекающей стороны треугольника (теорема Менелая).

1.2.2 Формулировка и доказательство теоремы Менелая

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и AC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно. Точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда:

1. Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через K ее точку пересечения с прямой B1C1.

Треугольники AC1B1 и CKB1 подобны по двум углам.

Следовательно, .

Далее, перемножив полученные равенства, получим:

,откуда следует, что:

или :

Докажем, что точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой. (рис.2)

Прямая B1C1 пересекает сторону BC в некоторой точке A2. (рис.1)

Т.к. точки B1, C1, A2 лежат на одной прямой, то по доказанному в первом пункте:

Сопоставляя (1) и (2), приходим к равенству, которое показывает, что точки A1 и A2 делят сторону BC в одном и том же отношении. Следовательно, точки A1 и A2 совпадают, и, значит, точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой.

С помощью теорем Чевы и Менелая нетрудно доказать теоремы о четырех замечательных точках треугольника, теоремы Ван-Обеля и Симпсона. Остановимся на двух последних теоремах подробнее.

3.1 Теорема Ван-Обеля

Пусть чевианы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке T, тогда справедливо равенство:

1.Для треугольника ABB1 и секущей CC1 запишем теорему Менелая:

; откуда получим (1)

2. Для треугольника BB1Си секущей A1A, запишем теорему Менелая:

; откуда следует, что: (2)

3. Сложив = .

Итак, .

Теорема Симсона (Симпсона)

Пусть D – произвольная точка описанной около треугольника ABC окружности. DP, DR, DQ – перпендикуляры к сторонам AB, AC и продолжению стороны BC соответственно. Докажем, что основания перпендикуляров P, R, Q лежат на одной прямой

Основания перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника (или их продолжениям) из произвольный точки описанной окружности, лежат на одной прямой

Доказательство (Способ 1.)

Сделаем доп. построение – проведем отрезки AD и CD.

1) Т.к. ∠APD = 90° и ∠ ARD=90°,

то точки A,P,R,D лежат на одной окружности с диаметром AD.

Тогда ∠PRA = ∠PDA, т.к. они опираются на одну дугу.

то точки Q, C, R, D лежат на одной окружности с диаметром CD.

Следовательно вписанные углы ∠CRQ = ∠CDQ как опирающиеся на одну дугу.

Итак, ∠PDA = ∠QDC, следовательно, ∠PRA = ∠CRQ.

Это означает, что точки P, R, Q лежат на одной прямой.

Теорема доказана.

3.3 Решение задач с помощью теорем Чевы, Менелая, Ван-Обеля и Симпсона

Дано: Три окружности с центрами А, В, С, радиусы которых относятся как , касаются друг друга внешним образом в точках X, Y, Z как показано на рисунке 19. Отрезки AX и BY пересекаются в точке O. В каком отношении, считая от точки B, отрезок CZ делит отрезок BY?

Решение. Обозначим , , (рис. 19). Так как , то по утверждению б) теоремы Чевы отрезки АX, BY и СZ пересекаются в одной точке — точке O. Тогда отрезок CZ делит отрезок BY в отношении . Найдем это отношение.

По теореме Менелая для треугольника BCY и секущей OX имеем: , откуда следует, что .

Ответ. .

В на стороне взята точ­ка так, что . На продолжении стороны за точку взята точка так, что . Пря­мая пересекает сторо­ну в точке . Найти отношение .

Дано: , , , – луч, , , .

Найти отношение .

Решение. I способ (без использования теоремы Менелая).

1) Рассмотрим и .

– общий угол для и ;

как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , . Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

И, значит,

2) Рассмотрим и .

как вертикальные углы;

как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и секущей , , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

Но, так как по доказанному: то мы получаем, что:

Ответ: .

II способ (с использованием теоремы Менелая)

Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию МС= .

Прямая пересекает две стороны (, ) и продол­жение третьей ( – луч, ), значит, по теореме Менелая: И, значит,

Ответ: .

Как видим, использование теоремы Менелая значительно упрощает решение этой задачи.

Приложение. Банк задач, для решения которых рекомендуется использовать теоремы Чевы, Менелая, Ван-Обеля и Симпсона

Катеты прямоугольного треугольника равны 9, 12 и гипотенуза равна 15. Найдите расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан.

В треугольнике ABC медиана AK пересекает медиану BD в точке L. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь четырехугольника KCDL равна 5.

Через точку пересечения медиан треугольника ABC проходит прямая, пересекающая стороны AB и AC. Расстояния от вершин В и С до этой прямой равны b и с соответственно. Найдите расстояние от вершины А до этой прямой.

Прямая, соединяющая точку Р пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых АВ и CD, делит сторону AD пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону ВС.

Из вершины С прямого угла треугольника АВС опущена высота СК, и в треугольнике АСК проведена биссектриса СЕ. Прямая, проходящая через точку В параллельно СЕ, пересекает СК в точке F. Докажите, что прямая EF делит отрезок АС пополам.

Источник