Высказывание это что в математике

Высказывания и предикаты. Кванторы

п.1. Высказывания

Например:
«Число 13 – нечётное» – высказывание, истинное
«2 + 2 = 5» – высказывание, ложное
«Мы живём в XXI веке» – высказывание, истинное
«Который час?» – не высказывание, т.к. вопросительное предложение
«Вася Пупкин – хороший человек» – не высказывание, т.к. неоднозначно. Но, если определить множество людей, которые оцениваются, и правила их оценки так, что предложение приобретёт однозначность, оно станет высказыванием.

Например:
A: натуральное число a делится на 2;
B: натуральное число a чётное.
Заметим, немного забегая наперёд, что в данном случае из А следует В, и из В следует А. Говорят, что эти высказывания эквивалентны: A ⇔ B.

п.2. Предикаты

Например:
P(x): x – объект с четырьмя ногами
При x = слон – предикат становится истинным высказыванием, P(«слон» )=1
При x = муравей – предикат становится ложным высказыванием, т.к. у муравья 6 ног, P(муравей)=0
При x = стол – предикат становится истинным высказыванием, P(«стол» )=1
При x = человек – предикат становится ложным высказыванием, т.к. у человека 2 ноги, P(человек)=0

Например:
P(x):|x| ≥ 0 – выполняется при любом значении x, это тождественный предикат.
\(\mathrm>\)

Например:
P(x, y): x делится на y – двуместный предикат, который становится истинным высказыванием на парах значений переменных (15;5), (14;7), (16;4) и т.д.
P(a, b):(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 – является тождественным двуместным предикатом, т.к. выполняется для любых a и b.

п.3. Кванторы

«для любого…», «для всех…», «любой…»

Единственности и существования

«существует точно одно такое, что…», «существует и единственно…»

Существуют натуральные числа, которые делятся на 13

Существуют треугольники, у которых все углы равны

Например, равносторонний треугольник со стороной 1

Любое натуральное число делится на 5

Например x = 6 на 5 не делится

У любого выпуклого четырехугольника диагонали перпендикулярны

Например, у прямоугольника со сторонами 3 и 4 угол между диагоналями ≈ 74° ≠ 90°

Разность квадратов двух любых выражений равна произведению суммы и разности

Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Третий класс задач (теорема) – самый сложный, т.к. требует не просто одного примера, а доказательства в общем случае.

п.4. Примеры

Пример 1. Запишите по два высказывания (A – истинное, B – ложное), относящиеся к
а) физике
A: Плотность равна отношению массы тела к его объему.
B: КПД механизма может быть больше 1.
б) химии
A: Гидроксид натрия – сильное основание.
B: Сульфат натрия – нерастворимая соль.
в) географии
A: На Земле шесть материков.
B: На Земле три океана.

Пример 3. С каким из кванторов предикат x 2 + 4 = 12 станет истинным высказыванием?
Если запишем (∀x) x 2 + 4 = 12 – это ложное высказывание, т.к., например, при x=0 оно не выполняется.
Если запишем (∃x) x 2 + 4 = 12 – это истинное высказывание, т.к., например, при \(\mathrm>\), оно выполняется.
Если запишем (∃x!) x 2 + 4 = 12 – это ложное высказывание, т.е. решений у данного уравнения не одно, а два: \(\mathrm=2\sqrt<2>>\)
Ответ: квантор существования ∃.

Источник

Высказывание (логика)

Высказывательной формой называется логическое высказывание, в котором один из объектов заменён переменной. При подстановке вместо переменной какого-либо значения высказывательная форма превращается в высказывание. Пример: A(x) = «В городе x идёт дождь.», где A — высказывательная форма, x — объект.

Содержание

Виды высказываний

Логические высказывания принято подразделять на два вида: элементарные логические высказывания и составные логические высказывания.

Составное логическое высказывание — это высказывание, образованное из других высказываний с помощью логических связок.

Элементарные логические высказывания — это высказывания не относящиеся к составным.

Примеры: «Петров — врач», «Петров — шахматист» — элементарные логические высказывания. «Петров — врач и шахматист» — составное логическое высказывание, состоящие из двух элементарных высказываний, связанных между собой при помощи связки «и».

Связь с математической логикой

Обычная логика двухзначна, то есть приписывает высказываниям только два возможных значения: истинно оно или ложно.

Пусть — высказывание. Если оно истинно, то пишут , если ложно, то .

Тождественно истинное высказывание обозначают символом 1, тождественно ложное — символом 0.

Основные операции над логическими высказываниями

Отрицание логического высказывания — логическое высказывание, принимающее значение «истинно», если исходное высказывание ложно, и наоборот.

Конъюнкция двух логических высказываний — логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны.

Дизъюнкция двух логических высказываний — логическое высказывание, истинное только тогда, когда хотя бы одно из них истинно.

Импликация двух логических высказываний A и B — логическое высказывание, ложное только тогда, когда B ложно, а A истинно.

Равносильность (эквивалентность) двух логических высказываний — логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны или ложны.

Кванторное логическое высказывание с квантором всеобщности () — логическое высказывание, истинное только тогда, когда для каждого объекта x из заданной совокупности высказывание A(x) истинно.

Кванторное логическое высказывание с квантором существования () — логическое высказывание, истинное только тогда, когда в заданной совокупности существует объект x, такой, что высказывание A(x) истинно.

См. также

Примечания

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Высказывание (логика)» в других словарях:

Высказывание — Высказывание: Высказывание (логика) предложение, которое может быть истинно или ложно. Высказывание (лингвистика) предложение в конкретной речевой ситуации. См. также Суждение … Википедия

ЛОГИКА — (от греч. logos слово, понятие, рассуждение, разум), или Формальная логика, наука о законах и операциях правильного мышления. Согласно основному принципу Л., правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой, или… … Философская энциклопедия

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ — раздел логики, в котором изучаются истинностные взаимосвязи между высказываниями. В рамках данного раздела высказывания (пропозиции, предложения) рассматриваются только с т.зр. их истинности или ложности, безотносительно к их внутренней субъектно … Философская энциклопедия

логика высказываний — ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, пропозициональная логика раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, простые высказывания при этом выступают как… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

ВЫСКАЗЫВАНИЕ — грамматически правильное повествовательное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом. В логике употребляется несколько понятий В., существенно различающихся между собой. Прежде всего это понятие дескриптивного, или о п и с а тельного,… … Философская энциклопедия

Логика Бэрроуза — Логика Бэрроуза Абади Нидхэма (англ. Burrows Abadi Needham logic) или BAN логика (англ. BAN logic) это формальная логическая модель для анализа знания и доверия, широко используемая при анализе протоколов… … Википедия

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ — центральный раздел логики, в котором изучается субъектно предикатная структура высказывании и истинностные взаимосвязи между ними. Л.п. представляет собой содержательное расширение логики высказываний. В рамках данного раздела любое высказывание… … Философская энциклопедия

ЛОГИКА НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ — или Логика науки, применение идей, методов и аппарата логики в анализе научного познания. Развитие логики всегда было тесно связано с практикой теоретического мышления и прежде всего с развитием науки. Конкретные рассуждения дают логике материал … Философская энциклопедия

ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ — ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ математическая логика. теоретическая логика область логики, в которой логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе строгого символического языка. Термин “символическая логика” был, по видимому … Философская энциклопедия

ЛОГИКА НАУКИ — в спец. смысле дисциплина, применяющая понятия и технич. аппарат совр. формальной логики к анализу систем науч. знания. Термин «Л. н.» часто употребляется также для обозначения законов развития науки (логика науч. развития), правил и… … Философская энциклопедия

Источник

MT1102: Линейная алгебра (введение в математику)

Определение высказываний

Высказывание — утверждение, относительно которого можно сказать истинно (1, истина, true) оно или ложно (0, ложь, false).

Примеры

Следующие предложения являются высказываниями:

%%A_1%%: «Лондон — столица Австрии».
%%A_2%%: «Число 8 больше числа 3».
%%A_3%%: «Число 8 больше числа 13».
%%A_4%%: «Луна — спутник планеты Земля».

Причем высказывания %%A_1, A_3%% — ложные, а %%A_2, A_4%% — истинные.

Следующие предложения не являются высказываниями:

%%B_1%%: «Какой сегодня день недели?».
%%B_2%%: «%%2 + 3%%».
%%B_3%%: «Число %%x%% больше 3».

Мы не можем сказать о любом из высказываний %%B_1, B_2, B_3%% истинно оно или ложно. Например, в предложении %%B_3%% буква %%x%% — переменная. Если поставить какое либо значение вместо нее, например 8, то получим истинное высказывание.

Операции над высказываниями

Пусть %%A%% и %%B%% — некоторые высказывания.

Конъюнкция

Конъюнкцией высказываний %%A%% и %%B%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%A \land B%%, которое является истинным тогда и только тогда, когда высказывания %%A%% и %%B%% истины. Читается как %%A%% и %%B%%.

Рассмотрим конъюнкцию высказывний %%A_1%% и %%A_2%%, которая записывается как %%A_1 \land A_2%% и читается как «Генуя — столица Австрии и число 8 больше числа 3». Это высказывание ложно, так как высказывание %%A_1%% ложно. Другими словами, конъюнкция является ложной тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний ложно.

Рассмотрим произвольные высказывания %%A%% и %%B%% и полученное из них высказывание %%A \land B%%. Высказывания %%A, B%% могут быть как ложными, так и истинными. Возможны следующие варианты:

В каждом их этих случаев, вычислив значение конъюнкции высказываний %%A \land B%%, получим следующую таблицу, которая называется таблицей истинности.

Где %%1%% обозначает истинное высказывание, %%0%% — ложное высказывание.

Дизъюнкция

Дизъюнкцией высказываний %%A%% и %%B%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%A \lor B%%, которое является ложным тогда и только тогда, когда высказывания %%A%% и %%B%% ложны. Читается как %%A%% или %%B%%.

Рассмотрим дизъюнкцию высказывний %%A_1%% и %%A_2%%, которая записывается как %%A_1 \lor A_2%% и читается как «Москва — столица Австрии или число 8 больше числа 3». Это высказывание истинно, так как высказывание %%A_2%% истинно. Другими словами, дизъюнкция является истинной тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истино.

Таблица истинности для дизъюнкции выглядит следующим образом.

Импликация

Импликацией высказываний %%A%% и %%B%% называется

новое высказывание, обозначаемое %%A \rightarrow B%%, которое является ложным тогда и только тогда, когда высказывание %%A%% истинно, %%B%% ложно. Читается как: «Если %%A%%, то %%B%%»; «%%A%% влечет %%B%%»; «из %%A%% следует %%B%%»; «%%A%% достаточно для %%B%%»; %%B%% необходимо для %%A%%».

Рассмотрим импликацию высказывний %%A_2%% и %%A_1%%, которая записывается как %%A_2 \rightarrow A_1%% и читается как «Если число %%8%% больше числа %%3%%, то Москва — столица Австрии». Это высказывание ложно, так как высказывание %%A_2%% истинно, а %%A_1%% ложно.

Таблица истинности для импликации выглядит следующим образом.

Эквиваленция

Эквиваленцией высказываний %%A%% и %%B%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%A \leftrightarrow B%%, которое является истинным тогда и только тогда, когда высказывание %%A%% и %%B%% одновременно истинны или ложны. Читается как: «%%A%% равносильно %%B%%»; «%%A%% необходимо и достаточно для %%B%%»; «%%A%% тогда и только тогда, когда %%B%%».

Рассмотрим импликацию высказывний %%A_1%% и %%A_2%%, которая записывается как %%A_1 \leftrightarrow A_2%% и читается как «Москва — столица Австрии тогда и только тогда, когда число %%8%% больше числа %%3%%». Это высказывание ложно, так как высказывание %%A_2%% истинно, а %%A_1%% ложно.

Таблица истинности для эквиваленции выглядит следующим образом.

Также эквиваленцию можно выразить через импликацию и конъюнкцию, тогда

Покажем это, используя таблицы истинности.

Как видно из таблицы истинности столбцы %%A \leftrightarrow B%% и %%(A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)%% имеют одни и те же значения при одинаковых наборах значений %%A%% и %%B%%, что говорит о равенстве этих двух формул.

Отрицание

Отрицанием высказывания %%A%%

Рассмотрим отрицание высказывния %%A_1%%, которое записывается как %%\overline%% и читается как «неверно, что Москва — столица Австрии». Это высказывание истинно, так как высказывание %%A_1%% ложно.

Таблица истинности для отрицания выглядит следующим образом.

Источник