Палочки Непера

Шотландский богослов и оккультист Джон Непер (1550—1617) сегодня известен как создатель логарифмов. Именно изобретение логарифмов, наряду с другими достижениями в математике, а также в физике и астрономии, вписало имя этого человека в историю. Не его основная, как он сам утверждал, теологическая деятельность, а логарифмы.

В XVI веке в Европе необходимость выполнять математические расчеты стала появляться не только у ученых, но и у все большего числа обывателей. Если для ученых требовалось ускорить процесс сложных научных вычислений, то простому человеку важно было уметь подсчитать, например, размер наследства, которое оставит богатый дядюшка.

Если со сложением-вычитанием в пределах десятка проблем не возникало, то умножение и деление могли вызвать затруднения. Даже и в наше время не все взрослые могут быстро умножить одно большое число на другое.

Сначала Непер озаботился облегчением вычислений для профессионалов, придумав, как заменить умножение на сложение. Речь шла о проведении тригонометрических операций в неевклидовой геометрии.

Сегодня из курса школьной математики известно, что для умножения чисел с одинаковыми основаниями и разными показателями степеней достаточно сложить степени.

Следовательно, достаточно составить таблицы, в которых каждому числу будет поставлен в соответствие показатель его степени по определенному основанию. В этом случае результат умножения можно будет получать, просто складывая числа в этой таблице и в ней же находя результат.

В дальнейшем это изобретение Непера получило и нетабличную реализацию в виде логарифмической линейки, верой и правдой прослужившей не одному поколению ученых и инженеров, несмотря на имеющуюся погрешность.

Что же касается потребностей более широких масс, Непер придумал, как заменить умножение и деление вычитанием и сложением. Он не был здесь первооткрывателем. Скорее опирался на работы индийских и арабских ученых, а также работы итальянского средневекового математика Леонардо Фибоначчи. Он усовершенствовал их идеи и нашел простую реализацию в виде специального устройства – «палочек Непера».

Работа, в которой Непер описал это свое изобретение, называлась «Рабдология», что в переводе с греческого означает «Наука о палочках». Совсем обходиться без промежуточных записей, не получалось, но забыть о таблице умножения было можно.

Устройство и работу палочек Непера можно объяснить так. Возьмем полоски бумаги и заранее запишем на них таблицу умножения, разделив диагональной чертой единицы и десятки результата.

Допустим мы хотим умножить 3682 на 7.

Берем полоски, которые начинаются на 3, 6, 8 и 2 и располагаем их в соответствующем порядке. Слева ставим полоску начинающуюся с единицы.

Набор палочек 3682

В первой полоске выбираем строчку на которую хотим умножить, то есть 7. Складываем числа по диагоналям.

В 7 ряду палочек складываем по диагоналям

Получаем: 2 / 1+4 / 2+5 / 6+1 / 4

Результат умножения: 25774

В дальнейшем эти счетные палочки различным образом модернизировались, с их помощью научились извлекать квадратный корень. Непер, используя принципы рабдологии, создал так называемый карточный или рабдологический абак. Он представлял собой относительно небольшой ящик, с помощью которого можно было перемножать 100- и 200-значные числа.

В 1666 году Самюэль Морлэнд усовершенствовал палочки Непера перенеся таблицу умножения на диски. Это упростило использование системы разработанной Непером и очень понравилось современникам. Морлэнд назвал свое детище «Новая множительная машина». Это устройство было похоже на первые арифмометры, и его можно считать прапрадедушкой современных калькуляторов.

Палочки Непера были одним из первых устройств, которые облегчили современникам сложные вычисления, еще до появления «Паскалины» и арифмометра Лейбница. Сегодня палочки Непера похожи на счетные палочки для первоклашек или забавную развивающую игрушку для самых маленьких, которая помогает вспомнить таблицу умножения. Палочки Непера дают нам повод лишний раз помянуть добрым словом их изобретателя, стоявшего у истоков современной математики.

Защита от спама: одна тысяча шестьсот девяносто два (число): *

Источник

Палочки Непера

В книге, изданной в 1617 году, шотландский ученый Джон Непер описал способ умножения с помощью палочек, который в дальнейшем получил название «Палочки Непера». В основу этого устройства лег принцип умножения решеткой, широко распространенный в XVII веке.

Для умножения решеткой использовалась таблица, содержащая столько столбцов, сколько разрядов у множимого, и столько строк, сколько разрядов у множителя. Над столбцами таблицы записывается множимое так, чтобы разряды числа находились каждый над своим столбцом. Справа от таблицы записывался множитель так, чтобы каждый разряд числа был напротив своей строки. При этом старший разряд записывался напротив верхней строки. В каждую ячейку таблицы записывался результат перемножения разряда множимого, находящегося над этой ячейкой, и разряда множителя, находящегося справа от этой ячейки. Причем для записи результата ячейка разделялась по диагонали на две части. В верхнюю часть записывался старший разряд результата, а в нижнюю – младший. Затем произведения суммировались по наклонным плоскостям справа налево. Полученная сумма и есть окончательный результат. Проиллюстрируем выше сказанное на примере 568 * 7:

1. Чертим решетку с тремя столбцами и одной строкой, разделяем ячейки решетки на две части по диагонали.

3. Умножаем разряд десятков множимого на множитель (6*7 = 42) и записываем результат во вторую ячейку.

4. Умножаем разряд единиц множимого на множитель (8*7 = 56) и записываем результат в третью ячейку.

На рисунке слева приведен пример умножения с помощью решетки для многоразрядного множителя. Все действия аналогичны примеру с одноразрядным множителем, только несколько усложняется суммирование по наклонной плоскости.

Используя этот способ умножения, Джон Непер создал свой прибор – «Палочки Непера». Он представлял собой набор палочек, в который входила одна палочка с нанесенными на нее цифрами от 1 до 9 (указатель строк) и палочки с таблицей умножения всех чисел от 1 до 9 (разряды множимого). Сверху каждой такой палочки наносилось число от 1 до 9, а вдоль длины – результаты умножения этого числа на все числа от 1 до 9. По сути дела палочки Непера представляли собой решетку для умножения числа 123456789 на число 123456789, разрезанную на столбцы.

Для умножения с помощью этого прибора выбирались палочки, соответствующие значениям разряда множимого, и выкладывались в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составляли множимое. Часто значения разрядов множимого повторялись, поэтому в наборе всегда было несколько палочек для каждого разряда. Слева прикладывали палочку с цифрами от 1 до 9 (указатель строк), по которой выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Затем каждая отобранная строка суммировалась по наклонной плоскости. Полученные результаты складывались между собой с учетом порядка разрядов множителя.

Рассмотрим технику умножения с помощью палочек Непера на примере перемножения чисел 4938 и 385:

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 3,4,8 и 9.

2. Выкладываем их вряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили число 4938.

3. Выкладываем слева указатель строк.

4. Ориентируясь по крайней левой палочке, проводим суммирование по наклонной плоскости для третьей строки. Суммирование проводится по этой строке, так как старший разряд множителя – три. Получаем результат суммирования 14814.

5. Аналогичные действия проводим для восьмой строки, так как второй разряд множителя – восемь. Результат суммирования – 39504.

6. Эти же действия проводим для младшего разряда множителя, которому соответствует пятая строка. Результат суммирования – 24690.

7. Складываем полученные ранее результаты с учетом порядка разрядов множителя. Так как первая сумма вычислялась для разряда сотен, то умножаем ее на 100. Соответственно вторую сумму умножаем на 10, а третью оставляем без изменения. Складываем полученные результаты: 1 481 400 + 395 040 + 24690 = 1 901 130. Полученная сумма и есть результат перемножения чисел 49380 и 385.

Палочки Непера могли использоваться не только для умножения, но и для деления, и излечения квадратного корня. Рассмотрим технику деления на примере 491756 / 3852 = 127.6625:

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 2,3,5 и 8.

2. Выкладываем их в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили делитель (3852).

3. Суммируем по наклонной плоскости первый ряд и записываем напротив него результат. Эту же операцию проделываем с оставшимися восемью рядами.

5. Повторяем действия, описанные в пункте 4, но применительно к остатку от деления. В результате получаем следующий разряд результата (2) и новый остаток (29516). Повторяем эти действия до тех пор, пока остаток больше делителя. Когда остаток от деления становится меньше делителя, означает, что найдена целая часть результата. В нашем случае это произойдет после трех итераций, и целая часть результата будет 127.

6. Увеличиваем остаток от деления в 10 раз и проводим с ним описанные выше действия, в результате получаем десятые доли результата (для нашего примера 6) и новый остаток. Повторяем эти действия до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность деления или остаток не будет равен нулю.

Для извлечения квадратного корня использовалась дополнительная палочка, имеющая три столбца. Первый столбец содержал возведенные в квадрат значения указателя строк. Второй столбец содержал числа, получаемые умножением значения указателя строк на два. Третий столбец содержал числа от 1 до 9. Для того, чтобы понять, как производилось вычисления квадратного корня с помощью палочек Непера, рассмотрим пример извлечения квадратного корня из числа 56349.

Извлечение квадратного корня происходит поэтапно. Число разбивают на группы по 2 цифры, начиная с права, и на каждом этапе оперируют со своей парой цифр. При этом от этапа к этапу к паре чисел присоединяется остаток от извлечения квадратного корня на предыдущем этапе.

Этап 1. Число 56349 разбивается на пары следующим образом: 5 63 49. Извлечение квадратного корня начинается с крайней левой группы, в нашем случае это 5.

Выбираем из первого ряда палочки для деления максимальное число, но меньшее первой группы (пяти). Это будет четыре: 4

Источник

Второе название описанного счетного устройства кости непера. Палочки непера как один из этапов становления вычислительной техники

Первым устройством для выполнения умножения был набор деревянных брусков, известных как палочки Непера. Они были изобретены шотландцем Джоном Непером (1550-1617гг.). На таком наборе из деревянных брусков была размещена таблица умножения. Кроме того, Джон Непер изобрел логарифмы.

Логарифмическая линейка

Развитие приспособлений для счета шло в ногу с достижениями математики. Вскоре после открытия логарифмов в 1623 г. была изобретена логарифмическая линейка.

Логарифмической линейки была суждена долгая жизнь: от 17 века до нашего времени. Вычисления с помощью логарифмической линейки производятся просто, быстро, но приближенно. И, следовательно, она не годится для точных, например финансовых, расчетов.

Шотландский богослов и оккультист Джон Непер (1550-1617) сегодня известен как создатель логарифмов. Именно изобретение логарифмов, наряду с другими достижениями в математике, а также в физике и астрономии, вписало имя этого человека в историю. Не его основная, как он сам утверждал, теологическая деятельность, а логарифмы.

В XVI веке в Европе необходимость выполнять математические расчеты стала появляться не только у ученых, но и у все большего числа обывателей. Если для ученых требовалось ускорить процесс сложных научных вычислений, то простому человеку важно было уметь подсчитать, например, размер наследства, которое оставит богатый дядюшка.

Если со сложением-вычитанием в пределах десятка проблем не возникало, то умножение и деление могли вызвать затруднения. Даже и в наше время не все взрослые могут быстро умножить одно большое число на другое.

Сначала Непер озаботился облегчением вычислений для профессионалов, придумав, как заменить умножение на сложение. Речь шла о проведении тригонометрических операций в неевклидовой геометрии.

Сегодня из курса школьной математики известно, что для умножения чисел с одинаковыми основаниями и разными показателями степеней достаточно сложить степени.

Следовательно, достаточно составить таблицы, в которых каждому числу будет поставлен в соответствие показатель его степени по определенному основанию. В этом случае результат умножения можно будет получать, просто складывая числа в этой таблице и в ней же находя результат.

В дальнейшем это изобретение Непера получило и нетабличную реализацию в виде логарифмической линейки, верой и правдой прослужившей не одному поколению ученых и инженеров, несмотря на имеющуюся погрешность.

Что же касается потребностей более широких масс, Непер придумал, как заменить умножение и деление вычитанием и сложением. Он не был здесь первооткрывателем. Скорее опирался на работы индийских и арабских ученых, а также работы итальянского средневекового математика Леонардо Фибоначчи. Он усовершенствовал их идеи и нашел простую реализацию в виде специального устройства – «палочек Непера».

Работа, в которой Непер описал это свое изобретение, называлась «Рабдология», что в переводе с греческого означает «Наука о палочках». Совсем обходиться без промежуточных записей, не получалось, но забыть о таблице умножения было можно.

Устройство и работу палочек Непера можно объяснить так. Возьмем полоски бумаги и заранее запишем на них таблицу умножения, разделив диагональной чертой единицы и десятки результата.

Допустим мы хотим умножить 3682 на 7.

Берем полоски, которые начинаются на 3, 6, 8 и 2 и располагаем их в соответствующем порядке. Слева ставим полоску начинающуюся с единицы.

В первой полоске выбираем строчку на которую хотим умножить, то есть 7. Складываем числа по диагоналям.

Получаем: 2 / 1+4 / 2+5 / 6+1 / 4

Результат умножения: 25774

В дальнейшем эти счетные палочки различным образом модернизировались, с их помощью научились извлекать квадратный корень. Непер, используя принципы рабдологии, создал так называемый карточный или рабдологический абак. Он представлял собой относительно небольшой ящик, с помощью которого можно было перемножать 100- и 200-значные числа.

В 1666 году Самюэль Морлэнд усовершенствовал палочки Непера перенеся таблицу умножения на диски. Это упростило использование системы разработанной Непером и очень понравилось современникам. Морлэнд назвал свое детище «Новая множительная машина». Это устройство было похоже на первые арифмометры, и его можно считать прапрадедушкой современных калькуляторов.

Защита от спама: одна тысяча шестьсот девяносто два (число):*

ДЖОН НЕПЕР (1550-1617)

Родился в 1550 году в Мерчистон-Касле близ Эдинбурга (Англия). Шотландский барон, 8-й лорд Мерчистона. В 1563г. Поступил в Сент-Эндрюсский университет, но никакой ученой степени по окончании не получил. Затем уехал путешествовать в Германию, Францию, Италию. В 1957 году вернулся на родину и поселился в родовом замке. Все время посвятил занятиям богословием и математикой. В 1593 г. опубликовал свою первую работу – по-богословию. В области математики Непер известен как изобретатель системы логарифмов, основанной на установлении соответствия между арифметической и геометрической прогрессии. В «Описании удивительной таблицы логарифмов» в 1614 г. он опубликовал первую таблицу логарифмов и вел сам термин.

Принцип умножения решеткой, широко распространенный в XVII веке

Для умножения решеткой использовалась таблица, содержащая столько столбцов, сколько разрядов у множимого, и столько строк, сколько разрядов у множителя. Над столбцами таблицы записывается множимое так, чтобы разряды числа находились каждый над своим столбцом. Справа от таблицы записывался множитель так, чтобы каждый разряд числа был напротив своей строки. При этом старший разряд записывался напротив верхней строки. В каждую ячейку таблицы записывался результат перемножения разряда множимого, находящегося над этой ячейкой, и разряда множителя, находящегося справа от этой ячейки. Причем для записи результата ячейка разделялась по диагонали на две части. В верхнюю часть записывался старший разряд результата, а в нижнюю – младший. Затем произведения суммировались по наклонным плоскостям справа налево. Полученная сумма и есть окончательный результат.

Используя этот способ умножения, Джон Непер создал свой прибор – «Палочки Непера». Это набор палочек, в который входила одна палочка с нанесенными на нее цифрами от 1 до 9 (указатель строк) и палочки с таблицей умножения всех чисел от 1 до 9 (разряды множимого). Сверху каждой такой палочки наносилось число от 1 до 9, а вдоль длины – результаты умножения этого числа на все числа от 1 до 9. По сути дела палочки Непера представляли собой решетку для умножения числа 123456789 на число 123456789, разрезанную на столбцы. Для умножения с помощью этого прибора выбирались палочки, соответствующие значениям разряда множимого, и выкладывались в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составляли множимое. Часто значения разрядов множимого повторялись, поэтому в наборе всегда было несколько палочек для каждого разряда. Слева прикладывали палочку с цифрами от 1 до 9 (указатель строк), по которой выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Затем каждая отобранная строка суммировалась по наклонной плоскости. Полученные результаты складывались между собой с учетом порядка разрядов множителя.

Модификация палочек Непера

Было множество попыток усовершенствовать палочки Непера.

Так в 1668 году Каспар Шот предложил вместо брусочков использовать цилиндры, на поверхности каждого из которых нанесены значения всех палочек Непера с таблицей умножения от 1 до 9. Цилиндры помещались в ящик параллельно друг другу. Повернув цилиндры так, чтобы их верхние цифры составляли множитель, можно проводить умножение также, как и с помощью палочек Непера.

В 19 веке для облегчения счета палочки Непера стали делать на брусочках, располагающихся под углом в 65 градусов. Таким образом, треугольники, используемые для сложения, при счете по наклонной плоскости располагались друг под другом.

А в 1892 году был создан прибор для умножения, использующий вместо палочек узкие полоски, закрепленные в футляре в виде записной книжки и передвигающиеся с помощью заостренной палочки, а слева прикладывали палочку с цифрами от 1 до 9 (указатель строк), по которой выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Затем каждая отобранная строка суммировалась по наклонной плоскости. Полученные результаты складывались между собой с учетом порядка разрядов множителя.

Палочки Непера были очень популярны и привлекали многих изобретателей.

За века их использования было предложено много разнообразных усовершенствований и устройств для их использования.

Техника умножения с помощью палочек Непера

Рассмотрим технику умножения с помощью палочек Непера на примере перемножения чисел 4938 и 385:

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 3,4,8 и 9.

2. Выкладываем их вряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили число 4938.

3. Выкладываем слева указатель строк.

4. Ориентируясь по крайней левой палочке, проводим суммирование по наклонной плоскости для третьей строки. Суммирование проводится по этой строке, так как старший разряд множителя – три. Получаем результат суммирования 14814.

5. Аналогичные действия проводим для восьмой строки, так как второй разряд множителя – восемь. Результат суммирования – 39504.

6. Эти же действия проводим для младшего разряда множителя, которому соответствует пятая строка. Результат суммирования – 24690.

7. Складываем полученные ранее результаты с учетом порядка разрядов множителя. Так как первая сумма вычислялась для разряда сотен, то умножаем ее на 100. Соответственно вторую сумму умножаем на 10, а третью оставляем без изменения. Складываем полученные результаты: 1 481 400 + 395 040 + 24690 = 1 901 130. Полученная сумма и есть результат перемножения чисел 49380 и 385.

Определяем остаток от операции на втором этапе, отнимая от числа, определенного для второго этапа (163), выбранное нами число (129). Остаток будет 34 (163-129 = 34). Зная остаток, определяем значение для третьего этапа извлечения квадратного корня. Путем объединения остатка(34) и третей группы(49) получаем число 3449.

Определяем остаток от операции, отнимая от числа, определенного для третьего этапа (3449), выбранное нами число (3269). Остаток будет 180 (3449-3269 = 180). Зная остаток, определяем значение для продолжения извлечения квадратного корня на четвертом этапе. Так как для четвертого этапа

Палочки Непера могли использоваться не только для умножения, но и для деления, и излечения квадратного корня. Рассмотрим технику деления на примере 491756 / 3852 = 127.6625:

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 2,3,5 и 8.

2. Выкладываем их в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили делитель (3852).

3. Суммируем по наклонной плоскости первый ряд и записываем напротив него результат. Эту же операцию проделываем с оставшимися восемью рядами.

4. Теперь приступаем непосредственно к делению. На этом этапе необходимо найти наибольшее число из столбца сумм, но при этом оно должно быть меньше делимого с учетом разрядности. То есть необходимо привести числа из столбца сумм к единому порядку с делимым и уже из этих чисел выбирать нужное нам.

Извлечение квадратного корня этап 1

Этап 3. Выбираем наибольшее число из столбца, который получился в результате суммирования строк по наклонной плоскости, которое в свою очередь меньше числа, определенного для третьего этапа (3449). Это будет 3269 (3269

Определяем остаток от операции, отнимая от числа, определенного для третьего этапа (3449), выбранное нами число (3269). Остаток будет 180 (3449-3269 = 180). Зная остаток, определяем значение для продолжения извлечения квадратного корня на четвертом этапе. Так как для четвертого этапа не осталось группы для объединения с остатком, то разряд результата, полученный после четвертого этапа, будет разряд десятых частей. А для вычисления числа для четвертого этапа остаток (180) объединяется с группой, состоящей из двух нулей (00). Таким образом, число для четвертого этапа будет 18000.

Смотрим значение второго столбца палочки для деления в седьмой строке (14). Объединяем число, выложенное палочками (46), с 14 по следующему правилу: разряд десятков от числа 14 прибавляем к числу выложенными палочками (46+1=47), а разряд единиц просто приписываем справа и получаем 474. Выкладываем это число слева от палочки для извлечения квадратного корня, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 3». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки для извлечения квадратного корня, и записываем их справа от выложенных палочек.

Палочкам Непера суждена была долгая жизнь. Они широко и долгое время использовались для вычислений в астрономии, артиллерии и других областях. Замечательный фильм 70-х годов об английском философе XVI века Томасе Море назывался «Человек на все времена», а вот если бы делался фильм о его соотечественнике, жившем спустя несколько десятилетий, то, возможно, его стоило бы назвать «Человек, опередивший время». Речь идет о сэре Джоне Непере, чье имя можно смело поставить в один ряд, например, с именами Галилео Галилея или Николая Коперника, а может быть, и Леонардо да Винчи.

Оба названных труда представляют интерес скорее для истории математики, а для истории компьютеров существенным является главнейшее и на первый взгляд очень простое технически изобретение шотландского ученого, которое в последующем стали называть палочками (или костями) Непера. Оно стало вторым после абака в истории человечества практическим приспособлением, облегчающим расчеты. Справедливости ради следует сказать, что есть более ранний по времени рисунок да Винчи, который считают изображением счетной машины, есть даже современные попытки ее реконструкции, но никаких документальных свидетельств о работе и практическом использовании калькулятора да Винчи нет. А с палочек Непера, несмотря на всю их видимую простоту, началась цепочка устройств, которая, в конечном счете, привела к современному ПК.

В «Рабдологии. » Непер описал способ перемножения чисел посредством особых брусков-палочек с нанесенными на них цифрами, они внешне похожи на кости домино, но с большим числом полей на каждом из них. Идея автоматизации с помощью заранее размеченных палочек явно восходит к одному из древнейших способов умножения, который назвался gelosia. Сегодня никто не задумывается о внутренней сложности этого арифметического действия, даже словосочетание «способ умножения» звучит как-то странно, ведь единственный известный большинству алгоритм «в столбик» проходят в третьем классе. А в те далекие времена умножение было наукой, которой посвящали целые трактаты. Наиболее известен труд Луки Пачоли Summa de arithmetica, где среди прочих описан и этот способ gelosia, изобретенный в Индии и в XIV веке пришедший в Европу при посредничестве персов и арабов. Тем, кто заинтересуется методами умножения, рекомендую статью Multiplication Methods (www.ex.ac.uk/cimt/res2/trolfg.pdf ), где прекрасно описаны различные древние приемы.

Идея палочек получила развитие в Германии. Через десять лет после опубликования «Рабдологии. » профессор восточных языков Вильгельм Шиккард из Тюбингенского университета изобрел механизм, упрощающий работу с палочками, который был описан им в переписке с Иоганном Кеплером. Как известно, письма были в ту пору единственной формой публикации. Была ли эта машина построена или нет, сейчас сказать сложно, но во всяком случае это была первая математически обоснованная модель калькулятора. Сейчас в Германии воссоздано несколько работоспособных образцов механизма Шиккарда. История создания калькулятора и жизнеописание автора удачно описаны в статье Юрия Полунова (http:// museum.iu4.bmstu.ru/ firststeps/ letters.shtml ).

Палочкам Непера суждена была долгая жизнь. Они долгое время широко использовались для вычислений в астрономии, артиллерии и других областях, палочки повлияли на создание логарифмической линейки, ставшей классическим инженерным инструментом XIX и XX веков, а в Великобритании вплоть до середины 60-х годов палочки Непера применялись для обучения школьников арифметике.

Кандидат педагогических наук Наталья Карпушина.

Чтобы освоить умножение многозначных чисел, нужно всего лишь знать таблицу умножения и уметь складывать числа. В сущности, вся сложность заключается в том, как правильно разместить промежуточные результаты умножения (частичные произведения). Стремясь облегчить вычисления, люди придумали множество способов умножения чисел. За многовековую историю математики их набралось несколько десятков.

Умножение способом решётки. Иллюстрация из первой печатной книги по арифметике. 1487 год.

Палочки Непера. Этот простой счётный прибор впервые был описан в сочинении Джона Непера «Рабдология». 1617 год.

Джон Непер (1550-1617).

Модель счётной машины Шиккарда. Это не дошедшее до нас вычислительное устройство изготовлено изобретателем в 1623 году и описано им годом позже в письме Иоганну Кеплеру.

Вильгельм Шиккард (1592-1635).

Наследие индусов — способ решётки

Иначе говоря, в соответствии с законами арифметики произведение чисел 296 и 73 вычисляется так:

296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14 000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10 000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 600 + 200) + (70 + 20 + 10) + 8 = 21 608.

Подобные ухищрения в самом деле ускоряли и облегчали расчёты, однако не затрагивали главный принцип работы прибора Непера. Так способ решётки обрел вторую жизнь, продлившуюся ещё несколько столетий.

Учёные давно задумывались над тем, как переложить непростую вычислительную работу на механические устройства. Первые успешные шаги в создании счётных машин удалось осуществить только в XVII столетии. Считается, что раньше других подобный механизм изготовил немецкий математик и астроном Вильгельм Шиккард. Но по иронии судьбы об этом знал лишь узкий круг лиц, и столь полезное изобретение более 300 лет не было известно миру. Поэтому оно никак не повлияло на последующее развитие вычислительных средств. Описание и эскизы машины Шиккарда были обнаружены всего полвека назад в архиве Иоганна Кеплера, а чуть позже по сохранившимся документам была создана её действующая модель.

По сути, машина Шиккарда представляет собой шестиразрядный механический калькулятор, выполняющий сложение, вычитание, умножение и деление чисел. В ней три части: множительное устройство, суммирующее устройство и механизм для сохранения промежуточных результатов. Основой для первого послужили, как нетрудно догадаться, палочки Непера, свёрнутые в цилиндры. Они крепились на шести вертикальных осях и поворачивались с помощью специальных ручек, расположенных наверху машины. Перед цилиндрами располагалась панель с девятью рядами окошек по шесть штук в каждом, которые открывались и закрывались боковыми задвижками, когда требовалось увидеть нужные цифры и скрыть остальные.

В работе счётная машина Шиккарда очень проста. Чтобы узнать, чему равно произведение 296 x 73, нужно установить цилиндры в положение, при котором в верхнем ряду окошек появится первый множитель: 000296. Произведение 296 x 3 получим, открыв окошки третьего ряда и просуммировав увиденные цифры, как в способе решётки. Точно так же, открыв окошки седьмого ряда, получим произведение 296 x 7, к которому припишем справа 0. Остаётся только сложить найденные числа на суммирующем устройстве.

Придуманный некогда индусами быстрый и надёжный способ умножения многозначных чисел, много веков применявшийся при расчётах, ныне, увы, забыт. А ведь он мог бы выручить нас и сегодня, если бы под рукой не оказалось столь привычного всем калькулятора.

Главная » Времена в английском языке » Второе название описанного счетного устройства кости непера. Палочки непера как один из этапов становления вычислительной техники

Источник