Все треугольники равнобедренные в чем ошибка

Егэ-тренер. Подготовка 2021-2022 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Задача 16 из ЕГЭ-2017

Задача с параметром

ЕГЭ? ОК! Фельдман И.В.

Сайт Елены Репиной

Человек на сайте: 1

Автор: Себедаш Ольга Просмотров: 3936 Скачиваний: 68 Извините, но в данный момент скачивание закрыто Вы всегда можете посмотреть много других замечательных и бесплатных роликов в разделе «Видео: бесплатные уроки»

Комментарии к этому ролику:

Комментарий добавил(а): Егэ-тренер
Дата: 2010-01-31

Мария, доказательство было бы тем же самым)) Очевидность рисунка надо подкреплять фактами.

Комментарий добавил(а): Мария
Дата: 2010-01-31

Это доказательство действует для любого треугольника. Если бы вершина В была левее, а точка С правее,и по рисунку было бы очевидно что они боковые стороны не равны? как в таком случае?

Комментарий добавил(а): Егэ-тренер
Дата: 2010-01-16

Всё-таки они пересекаются))

Комментарий добавил(а): Илназ
Дата: 2010-01-16

Круто! Но бессектриса и серединный перпендикуляр не могут пересекаться, т.к. АВ/ВС=АD/AC. (Здесь биссектриса пересекает АС в точке D ) Получается, что точка D левее P (или правее, если АВ длиннее ВС)

Комментарий добавил(а): monstmat
Дата: 2010-03-11

Хотя бы начать с «биссектрисы» из точки B, которая ею очевидно не является (визуально)и те 2 риски, которые размещены на разных расстояниях от вершины B (видимо специально, чтобы попытаться внушить наблюдателю равнозначность углов). А все треугольники являются равнобедренными, если 2 любые стороны в нём равны по длине, а третья не равна любой из них (равносторонний-частный случай)и вот с этим очень трудно поспорить)))))))))))))

Комментарий добавил(а): Natalya
Дата: 2010-03-12

Но биссектриса и серединный перпендикуляр пересекаются вне треугольника ABC(если он не равнобедренный)

Комментарий добавил(а): Егэ-тренер
Дата: 2010-03-11

Комментарий добавил(а): Егэ-тренер
Дата: 2010-03-12

Natalya, этот случай тоже рассмотрен на сайте. И там такое же безупречное доказательство равнобедренности)))

Комментарий добавил(а): Газиз
Дата: 2010-04-13

Ух ты, вот это даа. Просто и понятно. Хотя рисунок кривой, видимо из-за этого можно так доказать.

Комментарий добавил(а): Газиз
Дата: 2010-04-13

Попробую учителя озадачить 🙂

Комментарий добавил(а): Гений
Дата: 2010-05-14

Думаю, весь прикол в том, что сумма BT и TA не всегда равна BA.

Комментарий добавил(а): Он же
Дата: 2010-05-14

Ну, то есть ВА меньше, чем ВТ. инфа 100%

Комментарий добавил(а): Илья
Дата: 2010-05-30

Комментарий добавил(а): PIT
Дата: 2010-06-01

треугольник не равнобедренный хотя бы потому что высота, проведённая к основанию, не делит два этот треугольник на два равных)

Комментарий добавил(а): Шноп
Дата: 2010-06-04

да не правда всё это! просто криво рисуют и всё!

Комментарий добавил(а): Соня
Дата: 2010-06-04

Илназ молодец +1:) Единственный верно нашел противоречие:) Ну, кроме меня, конечно:)

Источник

помогите найти ошибку в софизме!

Все треугольники – равнобедренные.
Эта изящная нелепость также приведена в книге Льюиса Кэррола.
«Пусть ABC – некоторый произвольный треугольник. Разделим его основание BC пополам и из точки деления D проведем прямую DE, перпендикулярную BC. Разделим теперь угол BAC пополам.
1) Если биссектриса этого угла не пересекается с прямой DE, то, значит, они параллельны. Поэтому биссектриса будет перпендикулярна к основанию BC. Следовательно, AB = AC, т.е. треугольник ABC – равнобедренный.
2) Если биссектриса этого угла BAC пересекается c прямой DE. Обозначим через F. Соединим точку F с точками B и C и проведем из F прямые FG и FH, перпендикулярные сторонам AC и AB соответственно.
Треугольники AFC и AFH будут при этом равны, так как они имеют общую сторону AF, а углы FAG и AGF равны равны углам FAH и AHF. Следовательно AH = AG и FH = FG.
Треугольники BDF и CDF также равны между собой, поскольку сторона DF у них общая, а углы при вершине D равны. Поэтому FB = FC.
Кроме того треугольники FHB и FGC – прямоугольные. Следовательно, площадь квадрата, построенного на FB, равна сумме площадей квадратов, построенных на FH и HB. Точно так же площадь квадрата, построенного на FC, равна сумме площадей квадратов, построенных на FG и GC. Но FB = FC и FH = FG, и, следовательно, площадь квадрата, построенного на HB, равна площади квадрата, построенного на GC. Значит, HB = GC. С другой стороны, ранее было доказано, что AH = AG. Следовательно, AB = AC, т.е. треугольник ABC – равнобедренный.
Таким образом, треугольник ABC в любом случае оказывается равнобедренным, что и требовалось доказать» (и что так далеко от истины).

Во втором пункте опечатка «Треугольники AFC и AFH будут при этом равны. «. Не AFC, а AFG!

Цитата:
«Треугольники BDF и CDF также равны между собой, поскольку сторона DF у них общая, а углы при вершине D равны. Поэтому FB = FC.»

Для равенства треугольников необходимо равенство стороны и двух углов. Но углы при вершине F не равны, значит треугольники не равны и FB ≠ FC.

Все дальнейшие рассуждения ошибочны, так как основаны на этом ложном заключении.

Изящной нелепицей это трудно назвать. Скорее жульничество, основанное на отвлечении внимания, как у напёрсточников на вокзале.

Источник

И вот доказательство:

В произвольном треугольники проведём серпер (серединный перпендикуляр — примечание) к стороне AC и биссектрису угла В. Точку их пересечения обозначим О

Далее соединим точку О с точками А и В, а так же проведём из неё перпендикуляры на стороны треугольника.

Прямоугольные треугольники АОН и СОН равны по двум катетам. Из их равенства следует, что ОА=ОС

Прямоугольные треугольники ВОN и ВОМ равны по гипотенузе и острому углу. Из их равенства следует, что ON=OM и BN=BM

Прямоугольные треугольники АОN и COM равны по катету и гипотенузе (OA=OC и ON=OM). Из их равенства следует, что АN=CM

Т.к. AN=CM и BN=BM, то AN+NB=BM+MC или AB=BC. Итак, любой треугольник — равнобедренный!

Но вы спросите меня, а что если биссектриса и серпер пересекутся за пределами треугольника? Вот ответ:

Ну так вот. Проводим все те же построения, что и в предыдущем случае. Только теперь перпендикуляры упадут на продолжения сторон.

Прямоугольные треугольники ВОN и BOM равны по гипотенузе и острому углу => BN=BM и ON=OM

Прямоугольные треугольники AОH и COH равны по двум катетам => OА=OС

Прямоугольные треугольники АОN и COM равны по катету и гипотенузе (OA=OC и ON=OM). Из их равенства следует, что АN=CM

Т.к. AN=CM и BN=BM, то NB-АN=BM-CM или AB=BC. Итак, любой треугольник — равнобедренный!

И снова находчивый читатель недоволен. А что если серпер и биссектриса пересекаются за пределом треугольника, но перпендикуляры падают на стороны треугольника, а не их продолжения? Вот что:

Опять построения те же.

Прямоугольные треугольники ВОN и BOM равны по гипотенузе и острому углу => BN=BM и ON=OM

Прямоугольные треугольники AОH и COH равны по двум катетам => OА=OС

Прямоугольные треугольники АОN и COM равны по катету и гипотенузе (OA=OC и ON=OM). Из их равенства следует, что АN=CM

Т.к. AN=CM и BN=BM, то BN+NA=BM+MC или AB=BC. Итак, любой треугольник — равнобедренный!

на сей раз окончательно и безповоротно 🙂

Мой самый люимый софизм 🙂
Собственно первый софизм, с которым я столкнулся

Источник

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Для доказательства следующих теорем нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

В каждом из доказательств мы пользуемся признаком равенства треугольников, вот и повод их повторить.

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Источник

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Содержание:

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

Доказательство теоремы:

Вывод:

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Доказательство теоремы:

Доказательство от противного.

Признаки равнобедренного треугольника

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

Формулы длины стороны (основания — b):

Формулы длины равных сторон — (а):

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Площадь равнобедренного треугольника

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

Источник