Возведение в степень что это такое

Возведение в степень

Смотреть что такое «Возведение в степень» в других словарях:

возведение в степень — — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN exponentiation … Справочник технического переводчика

Возведение в степень — Возведение в степень бинарная операция, первоначально происходящая из многократного умножения натурального числа на самого себя. Обозначение: называ … Википедия

возведение в степень (мат.) — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN exponentation … Справочник технического переводчика

возведение в степень по модулю — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации EN modulo exponentiation … Справочник технического переводчика

модульное возведение в степень — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации EN modular exponentiation … Справочник технического переводчика

Быстрое возведение в степень — Алгоритм быстрого возведения в степень алгоритм, предназначенный для возведения числа x в натуральную степень n за меньшее число умножений, чем это требуется в определении. Алгоритм не всегда оптимален. Например, при n=15 требуется 6 умножений,… … Википедия

ВОЗВЕДЕНИЕ — ВОЗВЕДЕНИЕ, возведения, мн. нет, ср. (книжн.). Действие по гл. возвести. Возведение в сан. Возведение в степень, в квадрат и т.п. (мат.). Возведение здания. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

Источник

Свойства степеней. Действия со степенями

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение:

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»

a — основание степени;

n — показатель степени.

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:

2 — основание степени;

3 — показатель степени.

Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.

Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.

Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. В начале каждого года вы зарабатываете на нем еще два. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.

Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:

Математики заскучали и решили все упростить:

Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

Источник

Числа. Степень числа.

То есть вместо умножения шести одинаковых множителей 5х5х5х5х5х5 пишут 5 6 и говорят «пять в шестой степени».

Действия, с помощью которых произведение равных множителей сворачивают в степень, называют возведением в степень.

В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается так

Возвести число a в степень n – значит найти произведение n множителей, каждый из которых равен а

Если основание степени «а» равно 1, то значение степени при любом натуральном n будет равно 1. Например, 1 5 =1, 1 256 =1

Если возвести число «а» возвести в первую степень, то получим само число a: a 1 = a

Особыми считают вторую и третью степень числа. Для них придумали названия: вторую степень называют квадратом числа, третью – кубом этого числа.

-при нахождении степени положительного числа получается положительное число.

-при вычислениях нуля в натуральной степени получаем ноль.

— при вычислении степени отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Если решить несколько примеров на вычисление степени отрицательных чисел, то получится, что если мы вычисляем нечётную степень отрицательного числа, то в результате будет число со знаком минус. Так как при умножении нечётного количество отрицательных сомножителей получаем отрицательное значение.

Если же мы рассчитываем четную степень для отрицательного числа, то в результате будет положительное число. Так как при умножении чётного количества отрицательных сомножителей получаем положительное значение.

Свойства степени с натуральным показателем.

Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями мы основания не меняем, а показатели степеней складываем:

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями основание не меняем, а показатели степеней вычитаем:

При расчетах возведения степени в степень основание не меняем, а показатели степеней умножаем друг на друга.

например: (2 3 ) 2 = 2 3·2 = 2 6

Если необходимо рассчитать возведение в степень произведения, то в эту степень возводится каждый множитель

При выполнении расчетов по возведению в степень дроби мы в данную степень возводим числитель и знаменатель дроби

Последовательность выполнения расчетов при работе с выражениями содержащими степень.

При выполнении расчетов выражений без скобок, но содержащих степени, в первую очередь производят возведение в степень, потом действия умножение и деление, и лишь потом операции сложения и вычитания.

Если необходимо вычислить выражение содержащие скобки, то сначала в указанном выше порядке делаем вычисления в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Очень широко в практических вычислениях для упрощения расчетов используют готовые таблицы степеней.

Источник

Свойства степеней и действия с ними

Зачем нужны степени? Где они тебе пригодятся? Почему тебе нужно тратить время на их изучение?

Как обычно — чтобы облегчить себе жизнь. Знание свойств степеней позволит тебе упрощать вычисления и считать быстрее, что пригодится и в жизни и на ОГЭ или ЕГЭ!

Чтобы узнать все о степенях и научиться пользоваться свойствами степеней, читай эту статью.

P.S Если ты хорошо знаешь степени и тебе надо только повторить, переходи сразу к продвинутому уровню.

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Степени. Коротко о главном

Определение степени:

Свойства степеней:

Особенности степеней:

Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи. Начнем со сложения.

Сложение

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок. Теперь умножение.

Умножение

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: \(\displaystyle 2\cdot 8=16\).

Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать».

В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением.

Согласись, \(\displaystyle 2\cdot 8=16\) считается легче и быстрее, чем \(\displaystyle 2+2+2+2+2+2+2+2=16\).

И еще одна важная деталь. Ошибок при таком счете делается гораздо меньше. Математики из Стэнфорда, кстати, считают, что человек, знающий приемы счета, делает это в два раза легче и быстрее и совершает в два раза меньше ошибок. Работы меньше, а результат лучше.

Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками, но лучше ее запомнить! Вот таблица умножения. Выучи ее наизусть.

И другая таблица, красивее:

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно – возведение числа в степень.

Возведение числа в степень

Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень.

Например, \(\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=<<2>^<5>>\). Математики помнят, что два в пятой степени – это \(\displaystyle 32\).

И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.

Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел. Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.

Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.

Примеры из жизни

Начнем с квадрата или со второй степени числа.

Представь себе квадратный бассейн размером \( \displaystyle 3\) метра на \( \displaystyle 3\) метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться.

Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.

Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из \( \displaystyle 9\) кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет \( \displaystyle 9\) кусков. Это легко…

Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет \( \displaystyle 10\) см на \( \displaystyle 10\) см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать.

Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится \( \displaystyle 30\) плиток (\( \displaystyle \frac<300\ см><10\ см>=30\) штук) и по другой тоже \( \displaystyle 30\) плиток.

Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень».

Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше.

Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа.

Квадрат – это изображение второй степени числа.

Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?)

Нарисуй бассейн: дно размером \( \displaystyle 3\) на \( \displaystyle 3\) метра и глубиной \( \displaystyle 3\) метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.

Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать?

Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту.

В нашем случае объем бассейна будет равен \( \displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=27\) кубов… Легче правда?

А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя…

Остается только запомнить таблицу степеней. Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать пальцем.

Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.

У тебя есть \( \displaystyle 2\) миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через \( \displaystyle 5\) лет?

Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты – умный! Итак, в первый год — два умножить на два… во второй год — то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп!

Ты заметил, что число \( \displaystyle 2\) перемножается само на себя \( \displaystyle 6\) раз. Значит, два в шестой степени – \( \displaystyle 64\) миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти \( \displaystyle 64\) миллиона получит тот, кто быстрее посчитает…

Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?

У тебя есть \( \displaystyle 1\) миллион. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через \( \displaystyle 4\) года?

Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя \( \displaystyle 4\) раза.

Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.

Источник

Возведение в степень: правила, примеры

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Решение

Возьмем пример посложнее.

Вычислите значение 3 2 7 2

Решение

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Решение

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Как возвести число в целую степень

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Решение

Решение

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

Как возвести число в дробную степень

Проиллюстрируем на примере.

Решение

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Решение

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367.

Решение

Источник