Восьмиразрядная сетка что это
Форма с фиксированной запятой;
Формы представления чисел в ЭВМ.
Разрядная сетка – это свойственное для каждого типа ЭВМ количество разрядов, организованных определенным образом.
Это восьмиразрядная сетка ЭВМ.
В данном случае в разрядной сетке размещено десятичное
число 7. Если в результате какой – либо операции число не помещается в данной разрядной сетке это явление называется переполнением разрядной сетки.При этом теряются старшие разряды и величина числа существенно искажается.
Эта ситуация обнаруживается системой контроля ЭВМ.
Числа представляются в двух формах:
Форма с фиксированной запятой;
2. Форма с плавающей запятой.
Эта информация приводится в технической документации ЭВМ.
1.Форма с фиксированной запятой.
Указывается № разряда, после которого как будто бы имеется запятая.Точность результата предусматривается программистом. Чаще всего ЭВМ работает с целыми числами, когда запятая фиксируется после нулевого разряда или с дробными, когда запятая фиксируется перед старшим разрядом.
7 6 5 4 3 2 1 0
Пример. Разместить число 510 в шестиразрядной сетке.
— в младшие разряды размещаем число 1012;
— старшие разряды левее значащих разрядов заполняем нулями.
знак 4 3 2 1 0 номера разрядов
2. Форма с плавающей запятой.
Состоит из мантиссы и порядка числа 2.
| знак мантиссы | мантисса | знак порядка | порядок |
Для данного примера:
Для хранения данного числа необходимо иметь 8 –иразрядную сетку.
Двоичная арифметика.
С двоичными числами, как и с десятичными можно производить арифметические действия.
Для упрощения технической части ЭВМ все 4 арифметических действия сводятся к операции суммирования и выполняются в АЛУ, где основным устройством является сумматор.
Дата добавления: 2016-11-02 ; просмотров: 225 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Учитель информатики
Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.
Представление чисел в компьютере
Информатика. 10 класса. Босова Л.Л. Оглавление
§13. Представление чисел в компьютере
Самым первым видом данных, с которыми начали работать компьютеры, были числа. ЭВМ первого поколения могли производить только математические расчёты (вычисления).
Из курса информатики основной школы вы помните, что компьютеры работают с целыми и вещественными числами. Их представление в памяти осуществляется разными способами.
13.1. Представление целых чисел
Во многих задачах, решаемых на компьютере, обрабатываются целочисленные данные. Прежде всего, это задачи экономического характера, при решении которых данными служат количества акций, сотрудников, деталей, транспортных средств и др. Целые числа используются для обозначения даты и времени, для нумерации различных объектов: элементов массивов, записей в базах данных, машинных адресов и т. д. По своей природе множество целых чисел дискретно, т. к. состоит из отдельных элементов.
И хотя любое целое число можно рассматривать как вещественное, но с нулевой дробной частью, предусмотрены специальные способы представления целых чисел. Это обеспечивает: эффективное расходование памяти, повышение быстродействия, повышение точности вычислений за счёт введения операции деления нацело с остатком.
Для компьютерного представления целых чисел используется несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (под целые числа обычно отводится 8, 16, 32 или 64 разряда) и наличием или отсутствием знакового разряда.
Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных целых чисел.
Для получения компьютерного представления беззнакового целого числа в n-разрядной ячейке памяти достаточно перевести его в двоичную систему счисления и, при необходимости, дополнить полученный результат слева нулями до n-разрядов.
Например, десятичные числа 130 и 39 в восьмиразрядном представлении будут иметь вид:
При знаковом представлении целых чисел старший разряд ячейки отводится под знак (0 — для положительных, 1 — для отрицательных чисел), а остальные разряды — под цифры числа.
Представление числа в привычной для человека форме «знак-величина», при которой старший разряд ячейки отводится под знак, а остальные разряды — под цифры числа, называется прямым кодом.
В математике множество целых чисел бесконечно.
Компьютер работает с ограниченным множеством целых чисел.
Прямой код положительного числа отличается от прямого кода равного по абсолютной величине отрицательного числа только содержимым знакового разряда.
В прямом коде числа можно хранить, но выполнение арифметических операций над числами в прямом коде затруднено — оно требует более сложной архитектуры центрального процессора, «умеющего» выполнять не только сложение, но и вычитание, а также «знающего» особый алгоритм обработки не имеющего «веса» знакового разряда. Этих трудностей позволяет избежать использование дополнительного кода.
Чтобы понять сущность дополнительного кода, рассмотрим работу реверсивного счётчика, последовательность показаний которого можно представить в виде замкнутого кольца из чисел (рис. 3.5).
Рис. 3.5. Реверсивный счётчик
При возрастании показаний счётчика до максимального, например до 999, следующими его состояниями должны быть 1000, 1001, 1002 и т. д. Но для изображения старшей единицы в счётчике не хватает разряда, происходит переполнение разрядной сетки. Поэтому мы увидим 000, 001, 002 и т. д.
1 + 999 = 1000;
2 + 998 = 1000;
3 + 997 = 1000.
С учётом того что единица переполнения теряется, мы, сложив число и код противоположного ему числа, получаем ноль!
Вот ещё несколько примеров:
5-2 = 5 + [-2] = 5 + 998 = 1003;
7-5 = 7 + [-5] = 7 + 995 = 1002.
Для устранения неоднозначности в кольце будем считать половину состояний (0-499) кодами нуля и положительных чисел, а оставшуюся половину (500-999) — кодами отрицательных чисел.
Рассмотрим алгоритм получения дополнительного n-разрядного кода отрицательного числа:
1) модуль числа представить прямым кодом в n двоичных разрядах;
2) значения всех разрядов инвертировать (все нули заменить единицами, а единицы — нулями);
3) к полученному представлению, рассматриваемому как n-разрядное неотрицательное двоичное число, прибавить единицу.
Использование дополнительного кода позволяет свести операцию вычитания чисел к операции поразрядного сложения кодов этих чисел.
Выполним эту операцию в 16-разрядных машинных кодах.
Рассмотрим полученный результат. Это отрицательное число (об этом говорит 1 в знаковом разряде), представленное в дополнительном коде. Перейдём к прямому коду модуля соответствующего числа, по которому сможем восстановить десятичное представление результата.
Прямой код можно получить из дополнительного кода, если применить к нему операцию инвертирования и прибавить единицу.
13.2. Представление вещественных чисел
В математике множество вещественных чисел непрерывно, бесконечно и не ограничено.
Попробуйте обосновать это утверждение.
Вещественные числа записываются в естественной или в экспоненциальной форме.
В жизни мы чаще пользуемся естественной формой записи чисел, при которой: число представляется последовательностью десятичных цифр со знаком плюс или минус, знак плюс может опускаться, для разделения целой и дробной частей числа используется запятая.
Например, длину некоторого отрезка, равного 47,8 см, можно записать так:
Такое многообразие вариантов записи в экспоненциальной форме одного и того же числа не всегда удобно. Для однозначного представления вещественных чисел в компьютере используется нормализованная форма.
Примеры нормализации чисел:
Диапазон вещественных чисел в памяти компьютера очень широк, но, тем не менее, ограничен. Множество вещественных чисел, которые могут быть представлены в компьютере, конечно.
Поясним это на примере калькулятора, который производит вычисления в десятичной системе счисления. Пусть это будет калькулятор с десятью знакоместами на дисплее:
• 6 знакомест отводится под мантиссу (одно знакоместо отводится под знак мантиссы, четыре — под цифры мантиссы, одно — под точку, разделяющую целую и дробную части мантиссы);
• одно знакоместо отводится под символ «Е»;
• три знакоместа отводятся под порядок (одно — под знак порядка, два — под цифры порядка).
У калькуляторов первая значащая цифра, с которой и начинается мантисса, изображается перед точкой.
Число 12,34 в таком калькуляторе будет представлено как +1.234Е+01.
Число 12,35 будет представлено как + 1.235Е+01.
Как известно, между числами 12,34 и 12,35 находится бесконечное множество вещественных чисел, например: 12,341; 12,3412; 12,34123 и т. д.
Каждое из этих чисел в нашем калькуляторе будет представлено как + 1.234Е+01. Для последних разрядов у нас просто не хватает знакомест! Аналогичная ситуация имеет место и в компьютерном представлении вещественных чисел, независимо от того, ячейки какой разрядности там использованы.
Получается, что точно мы можем представить в компьютере лишь некоторую конечную часть множества вещественных чисел, а остальные числа — лишь приближённо.
Таким образом, множество вещественных чисел, представляемых в компьютере, дискретно, конечно и ограничено.
САМОЕ ГЛАВНОЕ
В математике множество целых чисел дискретно, бесконечно и не ограничено.
Для компьютерного представления целых чисел используется несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (8, 16, 32 или 64 разряда) и наличием или отсутствием знакового разряда. В любом случае компьютерное представление целых чисел дискретно, конечно и ограничено.
В математике множество вещественных чисел непрерывно, бесконечно и не ограничено.
Вопросы и задания
*7. Найдите десятичные эквиваленты чисел, представленных в дополнительном коде: 1) 00000100; 2) 11111001.
1) в прямом коде;
2) в дополнительном коде?
9. Вычислите с помощью калькулятора (приложение Windows) в режиме «Программист» следующие примеры:
Как вы можете объяснить полученные результаты?
10. Запишите десятичные числа в нормализованной форме:
1) 217,934; 2) 75321; 3) 10,0101; 4) 200450.
11. Сравните следующие числа:
12. Выполните операцию сложения:
13. Чем ограничивается диапазон представимых в памяти компьютера вещественных чисел?
14. Почему множество вещественных чисел, представимых в памяти компьютера, дискретно, конечно и ограничено?
*15. Попытайтесь самостоятельно сформулировать основные принципы представления данных в компьютере.
Представление информации
Для представления целых чисел в компьютере существуют два представления: беззнаковое (для неотрицательных чисел) и знаковое.
Если нужно представлять не только положительные, но и отрицательные значения, обычно используют дополнительный код. Он имеет следующие особенности:
Для положительных чисел дополнительный код совпадает с прямым (т.е. фактически его двоичной записью).
Фактически, дополнительный код — это число, которое нужно добавить к модулю исходного, чтобы достичь переполнения разрядной сетки. От этого и происходит название «дополнительный».
Для получения дополнительного кода отрицательного числа следует сделать следующее:
Пример работы с числами в дополнительном коде
7210 = 10010002. Запись в восьмиразрядной сетке: 01001000.
Таким образом получаем запись в дополнительном коде: 11010010.
Сложим полученные числа:
Перенос из старшего разряда выходит за разрядную сетку и просто отбрасывается: 00011010.
Полученное число переведем в десятичную систему счисления:
Числа с плавающей точкой
Для представления вещественных (действительных) чисел в современных компьютерах принят способ представления с плавающей точкой (запятой). Этот способ представления опирается на нормализованную (ее еще называют экспоненциальной) запись действительных чисел.
0,123456789 = 0,123456789 ⋅ 10 0 ;
Для хранения чисел с плавающей точкой в компьютерах обычно отводится 4, 8 или 10 байт.
Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа.
Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего до наибольшего представимого числа.
Найти в Интернет более подробную информацию о кодировании чисел
Текст — это последовательность символов (букв, цифр, знаков препинания, математических знаков и т.д.). Как и любая другая информация, в компьютере текст представляется двоичным кодом. Для этого каждому символу ставится в соответствие некоторое положительное число, двоичная запись которого и будет записана в память компьютера. Соответствие между символом и его кодом определяется кодовой таблицей.
Современные кодовые таблицы ведут начало от американского стандартного кода обмена информацией ASCII (American Standard Code for Information Interchange). Он был семибитным и, соответственно, позволял представить 2 7 =128 различных символов. Таблица включала буквы латинского алфавита, цифры, основные знаки и управляющие символы (перевод строки, возврат каретки, табуляция и др.).
В дальнейшем широкое распространение получили восьмибитные кодировки, в которых каждый символ текста был представлен полным байтом. В большинстве из них первые 128 кодов повторяли таблицу ASCII, а следующие («верхняя половина кодовой таблицы») использовались для представления символов национальных алфавитов и полиграфических знаков.
Во многих случаях для одного и того же языка было создано несколько кодировок. Например, для кодирования русскоязычных текстов достаточно широко использовалось (и до сих пор в некоторых случаях используются) пять кодировок:
Основные недостатки восьмибитных кодировок:
Для устранения этих недостатков в 1991 году был предложен стандарт Unicode («Юникод»). Он включает универсальный набор символов (UCS, Universal Character Set) и форматы машинного представления их кодов (UTF, Unicode Transformation Format).
Первая версия Юникода представляла собой кодировку с фиксированным размером символа в 16 бит, то есть общее число кодов было 2 16 (65 536). Отсюда происходит практика обозначения символов четырьмя шестнадцатеричными цифрами (например, U+0410). При этом в Юникоде планировалось кодировать не все существующие символы, а только те, которые необходимы в повседневном обиходе.
В дальнейшем было принято решение расширить набор символов за счет различных способов кодирования. Поскольку в ряде систем уже началось использование 16-битной версии Unicode, за основными символами сохранили принятые в ней коды (образовавшие «основную многоязычную плоскость»), а для более редко применяемых назначили «суррогатные пары» — четырехбайтные коды. Эта система кодирования получила обозначение UTF-16. В UTF-16 можно отобразить только 2 20 +2 16 −2048 (1112064) символов, это число и было выбрано в качестве окончательной величины кодового пространства Юникода. Но и этого более чем достаточно — сейчас используется немногим более 100000 кодовых позиций. Unicode включает символы практически всех современных, а также многих древних систем письма.
Для обеспечения совместимости со старыми системами, использовавшими 8-битное кодирование, была разработана система кодирования UTF-8. Она использует коды переменной длины: для символов, входящих в ASCII, применяются коды длиной 1 байт, полностью совпадающие с кодами ASCII. Для остальных символов — коды длиной от 2 до 4 байт (теоретически, до 6).
Существует также UTF-32, в которой для записи любого символа используется 4 байта. Из-за очень неэкономного расхода памяти (в 2-4 раза больше, чем UTF-8, и почти вдвое больше, чем UTF-16) на практике она используется достаточно редко.
В Интернет наибольшее распространение получила система кодирования UTF-8, в MS Windows преимущественно используют UTF-16, в Unix-подобных ОС (включая Linux и Mac OS X) — в основном UTF-8.
В отличие от чисел и текста, графическая и звуковая информация по своей природе — аналоговая (т.е. представляется непрерывным изменением некоторой величины). Компьютер же может работать только с дискретной («разрывной», представляемой скачкообразными изменениями). Поэтому непосредственно закодировать изображение или звук невозможно.
И для одного, и для другого вида информации существуют два способа представления: либо искусственно разбить на малые элементы, либо описать правила формирования.
Класс: 9
Презентация к уроку
Формы организации учащихся на уроке: индивидуальная, фронтальная
Используемое оборудование: компьютеры, интерактивная доска
Программное обеспечение: презентация к уроку, проверочный тест.
I. Организационный момент
Приветствие, проверка письменного домашнего задания.
II. Актуализация полученных знаний
Учащиеся (несколько человек) проходят тест на компьютерах по теме: «Системы счисления». (Приложение 1)
Для остальных учащихся фронтальный опрос.
Вопросы для фронтального опроса:
– Что такое система счисления?
– Сколько цифр используются в 2-й, 8-й, 10-й, 16-й системах счисления, перечислить какие.
– Перевести число 3458 в 10-ю систему счисления.
– Перевести число 45110 в 16-ю систему счисления.
– Перевод числа 10110011012 в 8-ю и 16-ю системы счисления, используя триады и тетрады.
III. Изучение нового материала (Презентация)
Представление целых чисел в форме с фиксированной запятой
Часть памяти компьютера, в которой хранится одно число – ячейка. Минимальный размер ячейки, где может храниться целое число – 8 бит или 1 байт.
Представим число 4210 в двоичной системе счисления, а затем представим как будет выглядеть это число в памяти компьютера.
4210 = 1010102.
Запишем полученное число в восьмиразрядную ячейку. Запись в ячейку производится с конца, то есть последняя цифра числа записывается в последний разряд ячейки, потом предпоследнюю цифру в предпоследний разряд ячейки и так далее пока не закончится число. Свободные разряды слева заполняются нулями.
Самый старший разряд (первый слева) – хранит знак числа. Если число положительное, то этот разряд равен 0, если отрицательное – 1.
Таким образом, самое большее положительное число, которое можно вписать в восьмиразрядную сетку имеет вид:
И это число 11111112 = 12710
Максимальное целое положительное число, помещающееся в восьмиразрядную ячейку, равно 127.
Рассмотрим представление в памяти компьютера целых отрицательных чисел
Представим внутреннее представление числа – 4210 в восьмиразрядной ячейке: 4210 = 1010102
1) 00101010
2) 11010101 это обратный код
3) + 1
11010110 получили представление числа – 4210 в восьмиразрядной ячейке.
Старший разряд получил значение 1 автоматически. Единица в старшем разряде – признак отрицательного числа.
Сложим числа 42 и – 42. Должны получить 0, проверим:
+ 00101010
11010110
100000000 получили число, старший разряд которого выходит за пределы восьмиразрядной ячейки, таким образом восьмиразрядная ячейка заполнена нулями, т.е. полученное при сложение число равно 0.
Диапазон представления целых чисел в восьмиразрядной ячейке:
Мы рассмотрели представление целых чисел на примере 8-ми разрядной ячейки, но бывают и 16-разрядные и 32-разрядные ячейки.
В 16-рядной ячейке можно получить числа диапазоном:
– 2 15 15 – 1 или – 32768 31 31 – 1 или – 2147483648 N–1 N–1 – 1
Представление целых чисел в форме с плавающей запятой.
Вещественные числа это тоже, что и действительные числа. Из курса математике вам известно, что к действительным числам относятся целые и дробные числа.
Всякое вещественное число X записывается в виде произведения мантиссы m и основания системы счисления p в некоторой целой степени n, которую называют порядком:
Например, число 25,324 = 0,25324 · 10 2
мантисса m = 0,25324, n = 2 – порядок. Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна сместится десятичная запятая в мантиссе.
Чаще всего для хранения вещественных чисел в памяти компьютера используется 32-разрядная или 64-разрядная ячейка. В первом случае это будет с обычной точностью, во-втором случае с удвоенной точностью. В ячейке хранятся два числа в двоичной системе счисления: мантисса и порядка.
Диапазон вещественных чисел ограничен, но он значительно шире, чем при представление целых чисел в форме с фиксированной запятой.
Например, при использовании 32-разрядной ячейки этот диапазон следующий:
Результаты машинных вычислений с вещественными числами содержат погрешность. При удвоенной точности погрешность уменьшается. Выход из диапазона (переполнение) приводит к прерыванию работы процессора.
IV. Закрепление изученного материала
Выполнить самостоятельно задания №3(а,б) и №4(а,б) на странице учебника 105 с последующей проверкой
а) Записать внутреннее представление числа 32 в восьмиразрядную ячейку 3210 = 1000002
Значит внутреннее представление числа 32 в восьмиразрядную ячейку: 00100000
б) Записать внутреннее представление числа –32 в восьмиразрядную ячейку
32 имеет представление 00100000
Обратный код 11011111
+1
11100000
Значит внутреннее представление числа –32 в восьмиразрядную ячейку: 11100000
а) Определить какому десятичному числу соответствует двоичный код 00010101 восьмиразрядного представления целого числа.
Видим, что первый разряд – 0, значит число положительное.
Переведём число 101012 в десятичную систему счисления:
1 · 2 4 + 0 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 = 16 + 4 + 1 = 2110
Значит двоичный код 00010101 восьмиразрядного представления целого числа 2110.
б) Определить какому десятичному числу соответствует двоичный код 11111110 восьмиразрядного представления целого числа.
Видим, что первый разряд – 1, значит число отрицательное. Для нахождения десятичного числа выполним алгоритм дополнительного кода в обратном порядке, а именно:
1) Вычтем из данного числа 1
2) Заменим 1 на 0 и 0 на 1
3) Переведём двоичное число 102 в десятичную систему счисления.
Таким образом, двоичный код 11111110 восьмиразрядного представления целого числа 210.
Задание: представить вещественное число
в нормализованной форме с плавающей точкой в десятичной системе счисления.
а) 0,0050589 = 0,50589 · 10 –2
б) 1234,0456 = 0,12340456 · 10 4
V. Итог урока
– Сегодня на уроке вы узнали, каким образом хранятся числа в памяти компьютера. Как зависит диапазон значений чисел от размера ячейки, в которой хранится число.
Выставление оценок за урок (тест и задания №3, №4)
VI. Домашнее задание
Параграф 17, вопросы 1, 2, задания №3 (в,г), №4 (в,г)/