конкретизация каких либо методов с использованием определенных средств это
Мыслительные операции
В процессе эволюции взглядов на природу и сущность мыслительного процесса, особое внимание ученых привлекал вопрос формирования мыслительных операций. Мышление, в отличие от других физиологических процессов, совершается на основе определенной логики. Это позволяет выделить отдельные структурные элементы: абстрагирование, анализ и синтез, классификация и категоризация, конкретизация, обобщение, сравнение, — и охарактеризовать их. Закономерности функционирования названных операций мышления и есть по сути основными внутренними, специфическими основами мышления. Их изучение помогает получить детальное объяснение всех внешних проявлений мыслительной деятельности.
Оглавление
Абстрагирование
Абстрагирование (абстракция) – один из основных процессов умственной деятельности человека, познание на основе выделения существенных, закономерных признаков, свойств, связей объекта предмета или явления, отвлечение от несущественных сторон. В повседневной жизни умение абстрагироваться чаще всего сопряжено с умением сосредоточиться на поиске и решении самого важного аспекта рассматриваемой проблемы.
В зависимости от целей абстрагирования существуют формальная и содержательная абстракции. Формальная абстракция – выделение свойств предмета, которые независимо от него не существуют (например, форма или цвет). Служит основой усвоения знаний детьми, описывающих предметы по их внешним свойствам, что служит предпосылкой теоретического мышления. Содержательная абстракция – вычленение тех свойств предмета, которые сами по себе обладают относительной самостоятельностью (например, клетка организма). Этот тип абстракции развивает способность оперировать свойствами отдельно.
Анализ и синтез
В любом виде интеллектуального труда – в области математики, политологии, живописи и др.– широко применяются анализ и синтез. Речь идет не о научных методах, а о взаимосвязанных мыслительных операциях.
Этимология слова «анализ» восходит от древнегреческого «разбивать», «расчленять». Как мыслительная операция анализ подразумевает изучение вещи, свойства, процесса или отношения между предметами путем реального или мыслительного расчленения целого на составляющие. Данная операция – одна из базовых в процессе познания и предметно-практической деятельности человека.
Примером практического анализа может служить химический процесс расщепления молекулы кухонной соли на ионы Натрия и Хлора с целью изучения состава и молекулярных связей. Умственная операция анализа предполагает теоретическое умение оперировать составляющими частями предмета или явления и на основании этого делать определенные выводы. Например, благодаря умственному анализу ребенок учится различать геометрические фигуры как набор отдельных характеристик: квадрат состоит из четырех прямых линий, треугольник отличается от квадрата количеством углов и линий.
Синтез (от древнегреческого «соединение», «складывание») – изучение чего-либо через объединение вещей, понятий, суждений о явлении или предмете с целью получить комплексное и разностороннее представление о нем. Примером синтеза может быть случай, когда во время написания реферата по истории на тему «Общие черты экономических систем СССР и Китая», студент, опираясь на знания двух разных тем, определяет что было общего в развитии двух главных социалистических стран в заданный период.
Джон Локк в своем «Опыте о человеческом разуме» был уверен, что знания создаются путем комбинирования восприятия, представления и других видов знаний. Иммануил Кант в «Критике чистого разума» утверждал, что есть две взаимно дополняемые операции: анализ – понимание через изучение частей, синтез – понимание через связь, объединение составляющих, восхождение от единичного к множественному. Говоря обычным языком, анализ и синтез – две стороны одной медали.
Классификация и категоризация
С классификацией и категоризацией мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно, она насколько прочно вошла в нее, что большинство людей даже не задумываются, когда прибегают к такой мыслительной операции. На протяжении всей жизни, понятия и знания о предметах мы чуть ли не на подсознательном уровне относим их к той или иной категории, что приводит к удобству использования информации. Практически все вокруг нас подчиняется определенной логике: будь то отделы в супермаркете или дорожные знаки.
Большинство современных словарей используют термины «классификация» и «категоризация» как взаимозаменяемые. Существует и отличное мнение о том, что «категория» более широкое понятие чем «класс», но даже в таком случае определение самого термина остается прежним. Классификация – логическая операция деления объема понятия, исходя из его характеристик. Пример – известная нам еще со школьной скамьи таблица:
Конкретизация
Конкретизация (от латинского «сложившийся») – прием познания, логическая операция, связанная с переносом некоего общего утверждения на конкретный предмет или явление. Например, известно, что коррозия металлов происходит в результате влияния окружающей среды, в частности кислорода, на металл. Следовательно, открыв новый металл, можно предположить, что и он будет коррозировать под влиянием кислорода.
Обобщение
Обобщение – логическая операция противоположная конкретизации. Подразумевает перенос частного утверждения, применимого в отношении одного или нескольких объектов, на другие объекты, в результате которого оно перестает быть конкретным, приобретая общий характер. Так, изучив фотосинтез на примере нескольких растений, можно сделать вывод о том, что процесс невозможен без солнечного света и у других растений.
Сравнение
Каждый человек хоть раз слышал умозаключение: «Все познается в сравнении». Действительно, определить что хорошо, а что лучше, сопоставить свойства двух объектов возможно только прибегнув к операции сравнения – процессе количественного или качественного сопоставления разных свойств (сходств, отличий, преимуществ и недостатков) объектов. Сравнение – важнейшая мыслительная категория на основе которой складывается наше представление об окружающем мире.
Все вышеперечисленные логические операции взаимно дополняются, помогают получать и преобразовывать информацию, быстро использовать ее в нужный момент.
Развитие способности совершать мыслительные операции
Мало кто из взрослых задумывается сегодня над тем, что много детских игр и предлагаемых в начальной школе задачек построены таким образом, чтоб развивать основные мыслительные операции. Логические цепочки, ребусы, загадки и головоломки преследуют цель развить навыки абстрактно-логического мышления с детства, научить выявлению сходства и различий в объектах, определению понятий, исключению лишнего. Вырастая, мы совершаем эти операции, не задумываясь, но порой сталкиваемся с трудностями при решении кажущихся детскими головоломок. Это как раз и связано с тем, что с годами занятий профессиональной деятельностью, наш мозг до автоматизма совершенствует выполнение тех или иных задач связанных с родом занятий. Но как только мы встречаемся с другой областью – возникают трудности. Чтоб этого не происходило, нужно постоянно совершенствоваться, развивая все основные мыслительные операции. Помогут в этом упражнения на умение понимать, идентифицировать и применять эти операции.
Классическими образцами таких игр являются шахматы, нарды, скрэббл. В советское время довольно популярными были головоломки со спичками, которые сегодня обрели новую жизнь благодаря популяризации в соцсетях. Попробовать свои силы в такого рода задачках вы можете с помощью материалов нашего блога.
Интересным и эффективным упражнением на развитие мыслительных операций может стать прохождение теста на IQ. Существует много его разновидностей, самый популярный из которых – тест Айзенка. С рекомендациями по прохождению таких тестов, которые в наше время также популярны при устройстве на работу, вы можете ознакомиться у нас на сайте.
Детальная информация о развитии разных типов мышления, а также упражнения для их тренировки собраны в курсе «Когнитивистика». Пройдите его, если заинтересованы в развитии своего мышления!
Абстрагирование и конкретизация
Прикладные исследования
Главная цель деятельности учёных – использовать научные достижения для блага человека. Но нужно помнить, что не все вновь открытые научные законы сразу используются в практике. Научное открытие проходит длинный путь, прежде чем оно сможет быть подготовлено к внедрению. И на этом пути основное место отводится прикладным исследованиям.
Смысл прикладных исследований заключается в том, чтобы найти практическое применение открытых (познанных) законов природы. В процессе прикладных исследований находят (открывают) способы использования законов природы для создания новых технологических процессов, машин, новых веществ, т.е. технических объектов.
Т.о. прикладная наука ставит задачу решения определённой технической проблемы в интересах общества. Результаты внедрения прикладных исследований в производство не менее важны, чем фундаментальные исследования.
1. Поисковые исследования.
Разработка технического объекта начинается с поисковых исследований.
(привести примеры применительно к проблемам отрасли)
Промежуточными звеньями между поисковыми прикладными исследованиями и производственной деятельностью являются научно-исследовательские работы и опытно-конструкторские разработки (т.е. техническое внедрение).
2. Научно-исследовательские разработки.
Научно-исследовательские разработки необходимы для тщательной проработки отобранной на стадии поисковых исследований технической идеи для создания конкретных веществ, новых устройств, процессов и т.д.
Смысл научно-исследовательских работ заключается, таким образом, в подробном изучении влияния различных факторов на исследуемый объект.
(привести примеры применительно к проблемам отрасли в продолжение предыдущего примера)
Итогом научно-исследовательской разработки является продукт, который предлагается для промышленных испытаний и внедрения в практику.
3. Опытно-конструкторские разработки или техническое внедрение.
Цель – создать объект определённой структуры, такой структуры, которая бы обеспечила его функционирование при ряде субъективных ограничений (в конкретных условиях). Такими ограничениями могут служить:
· вид потребляемой энергии,
Решение задачи может иметь варианты, т.к. одну и ту же цель можно достичь с помощью разных технических объектов.
В этих условиях возникает необходимость оценить найденную структуру, т.е. проанализировать, соответствует ли она предъявляемым требованиям. Такой анализ – тоже научное исследование.
Основные методы исследования
Метод (от греческого слова «методос») – путь к чему-либо.
Научные исследования не должно осуществляться беспорядочно. Исследователь должен владеть комплексом методов, руководствуясь которыми он может достичь намеченной цели. Различают общефилософские, общенаучные и конкретно-научные методы изучения действительности.
I. Общефилософские методы имеют всеобщий характер – это диалектический и метафизический методы, последний всё больше вытесняется из естествознания.
II. Общенаучные методыиспользуются в самых различных областях науки, т.е. имеют широкий междисциплинарный спектр применения.
III. Конкретно-научные или частно-научные методыиспользуются в конкретной области науки (химия, физика и др.) и имеют свои специфические особенности.
Мы будем более подробно изучать общенаучные методы исследования.
Они подразделяются на:
1) методы, используемые и на теоретическом, и на эмпирическом уровне;
2) методы, применяемые на теоретическом уровне;
3) методы, используемые на эмпирическом уровне.
Методы, используемые на теоретическом и эмпирическом уровнях.
— индукция и дедукция;
— аналогия и моделирование;
— абстрагирование и конкретизация.
Анализ и синтез
Вначале у исследователя складывается общая картина изучаемого объекта (можно сказать внешняя) с весьма малым представлением о его внутренней структуре, составляющих его элементах и связях между ними. Но для того, чтобы раскрыть сущность объекта как раз и нужно знать все внутренние взаимосвязи.
(привести примеры применительно к отрасли)
(необходимо исследовать существенные признаки объекта, узнать из чего он состоит, а для этого исследуемый объект (целостный предмет) разделить (мысленно или практически) на составляющие части. Затем изучить их, выделяя свойства и признаки, прослеживая связи и взаимодействия, выявляя их роль в составе целого.
После того, как познавательная задача решена, части вновь можно объединить в единый предмет и составить себе конкретно-общее представление, опираясь на глубокое знание внутренней природы предмета это достигается с помощью таких операций как анализ и синтез
Анализ– метод исследования, заключающийся в том, что предмет изучения мысленно или практически расчленяется на составные элементы. Каждая из выделенных частей исследуется в отдельности, как части целого.
Синтез– метод исследования, позволяющий соединить части предмета, разделённого в процессе анализа, установить их связь и познать предмет, как единое целое.
(привести примеры)
Анализ и синтез является наиболее элементарными и простыми приемами познания, и вместе с тем они являются и наиболее универсальными (и на эмпирическом и на теоретическом уровнях).
На теоретическом уровне выявляются внутренние характеристики и связи. Операции анализа и синтеза находятся в тесной взаимосвязи и не могут существовать отдельно.
Индукция и дедукция
В процессе исследования часто приходится делать заключение о неизвестном, опираясь на уже имеющие знания. И на этом пути играют роль такие методы познания как индукция и дедукция.
(привести примеры)
Основой индукции является опыт, эксперимент и наблюдение, в ходе которых собираются отдельные факты. Затем, изучая, анализируя факты, исследователь находит общие, повторяющиеся черты у объектов определенного класса. На этой основе он строит индуктивное умозаключение, в котором признак, выявленный у совокупности единичных объектов, приписывается всему классу.
Различают полную и неполную индукцию.
Полная индукция – применима в тех случаях, когда все объекты одного класса могут быть изучены и перечислены, и найдены общие характеристики.
Например, можно перечислить все химические элементы, входящие в класс металлов.
Неполная индукция применяется тогда, когда нет необходимости изучать все объекты класса. Иногда в силу необозримости класса изучаемых явлений или в силу ограниченности человеческой практики.
Итак, неполной индукцией является такой прием рассуждений, в котором общий вывод делается на основе изучения ограниченного числа объектов класса.
Достоинства неполной индукции – позволяет сократить научный поиск, так как возможно прийти к общим положениям, раскрыть закономерности, не дожидаясь, пока будут исследованы все явления данного класса, но в этом и ее ограниченность. Так как вывод неполной индукции может привести и к недостоверному знанию.
Индуктивный вывод требует тщательной проверки опытного материала. Наиболее часто возникающие ошибки – это поспешность обобщения, обобщение без достаточного основания, по второстепенным или случайным признакам
Дедукция – это способ рассуждения, посредством которого из общих посылок с необходимостью следует заключение частного характера
Дедукция отличается от индукции прямо противоположным ходом мысли.
В дедукции, опираясь на общее знание, делают вывод частного характера.
(привести примеры)
Началом дедукции являются аксиомы, гипотезы, имеющие характер общих заключений.
Индукция и дедукция тесно взаимосвязаны и дополняют друг друга. Процесс научного познания движется от индуктивного обобщения к дедуктивному выводу, проверке вывода и более глубокому обобщению и так бесконечно.
Абстрагирование и конкретизация
Абстракция –(от лат. abstratio) – отвлечение.
Абстрагирование – метод научного познания, заключающийся в мысленном выделении интересующих исследователя признаков предмета или явления и их мысленном отвлечении от всех других.
В процессе абстрагирования происходит отбрасывание несущественных, побочных признаков, затрудняющих проведение исследования. Любое эмпирическое высказывание – абстракция.
Абстрагирование тесно связано с конкретизацией.
Любой конкретный объект (явление) являются совокупностью множества свойств, сторон, внутренних и внешних связей и познать их во всём многообразии с помощью органов чувств практически невозможно. Поэтому возникает потребность в теоретическом осмыслении конкретного, т.е. к переходу к абстрактному. (Это происходит в мышлении – получаем абстрактное представление о конкретном).
Конечной же целью является более глубокое познание конкретного.
Метод восхождения от абстрактного к конкретному применяется при построении различных научных теорий.
В научном Познани широко применяются, например, абстракции отождествления.
(привести примеры)
В исследованиях используют также изолирующие абстракции, когда некоторые свойства или признаки выделяются в самостоятельные сущности (электропроводность, растворимость и т.д.)
конкретизация
Полезное
Смотреть что такое «конкретизация» в других словарях:
конкретизация — уточнение, детализирование, детализация, конкретизирование Словарь русских синонимов. конкретизация см. уточнение Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова … Словарь синонимов
конкретизация — и, ж. concrétisation f. Действие по знач. гл. конкретизировать и конкретизироваться. Конкретизация предложений. БАС 1. Так называемая конкретизация чувствительности означает не более, чем конкретизацию рефлекса чувствительности к реалистическим… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
КОНКРЕТИЗАЦИЯ — КОНКРЕТИЗАЦИЯ, конкретизации, жен. (книжн.). Действие по гл. конкретизировать и конкретизироваться. Конкретизация предложения. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
Конкретизация — наполнение схематизированной когнитивной картины какого либо предмета частными признаками, за счет чего оказывается возможным движение от одной схемы к другой, более оптимальной для решения конкретных задач … Психологический словарь
конкретизация — КОНКРЕТИЗИРОВАТЬ, рую, руешь; анный; сов. и несов., что. Представить ( влять) в конкретном виде. К. общее положение. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
конкретизация — конкретизация. Неправильно произношение [конкрэтизация] … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке
конкретизация — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN specification … Справочник технического переводчика
конкретизация — ▲ добавление ↑ определенность < > обобщение конкретизация добавление характеристик. стратификация … Идеографический словарь русского языка
КОНКРЕТИЗАЦИЯ — (от лат. concretes сгущенный, уплотненный) возвращение мысли от общего и абстрактного к конкретному с целью более определенного, наглядного раскрытия содержания. К конкретизации обращаются в том случае, если высказанная мысль оказывается… … Профессиональное образование. Словарь
Конкретизация — ж. 1. процесс действия по несов. гл. конкретизировать, конкретизироваться 1. 2. Результат такого действия. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Обобщение, абстрагирование и конкретизация
Логические методы познания
Анализ и синтез
Очень часто умение мыслить связывают с умением анализировать. Это вполне правомерно, так как вывод следствий, выражающих новые свойства изучаемого объекта, очень часто требует анализа того, что уже известно о нем. В математике, чаще всего, под анализом понимают рассуждение в «обратном направлении», т. е. от неизвестного, от того, что необходимо найти, к известному, к тому, что уже найдено или дано, от того, что необходимо доказать, к тому, что уже доказано или принято за истинное. В таком понимании, наиболее важном для обучения, анализ является средством поиска решения, доказательства, хотя в большинстве случаев сам по себе решением, доказательством еще не является.
Синтез, опираясь на данные, полученные в ходе анализа, дает решение задачи или доказательство теоремы. Анализ лежит в основе весьма общего подхода к решению задач (имеется в виду нестандартных задач, для которых нет соответствующего алгоритма), известного под названием сведения (редукции) задачи к совокупности подзадач. Идея такого подхода состоит именно в свойственном для анализа «размышлении в обратном направлении» от задачи, которую предстоит решить, к подзадачам, затем от этих подзадач к подподзадачам и т. д., пока исходная задача не будет сведена к набору элементарных задач. Что же понимают под «элементарными задачами»? Это, во-первых, задачи, решаемые за один шаг поиска, во-вторых, более сложные задачи (т. е. не решаемые за один шаг поиска), решение которых уже известно из имеющегося опыта решения задач.
Из такого понимания элементарной задачи следует, что чем больший опыт решения задач, тем больше задач становятся для нас «элементарными» в упомянутом выше смысле, а следовательно, тем меньше объем поиска при решении новых задач, их сведения к элементарным, так как цель поиска состоит в получении элементарных задач, останавливающих процесс поиска.
Подход к решению задач, состоящий в сведении задач к совокупности подзадач, находит широкое применение в практике решения не только задач на доказательство.
Приведем в качестве примера арифметическую задачу для IV класса: «В двух бригадах совхоза участки под зерновые составляли 2000 га и 3000 га соответственно. Первая бригада собрала по 30 ц, вторая по 26 ц с гектара. Продано государству 5500 т с первого участка и 7000 т со второго. Остальное зерно засыпано в семенной фонд. Сколько зерна засыпал совхоз в семенной фонд?»
Обычно анализ задачи по существу представляет собой процесс сведения данной задачи к совокупности подзадач, доведенный до элементарных задач. Здесь элементарной считается задача, решаемая с помощью не более одного действия над данными задачи (т. е. элементарной считается и задача, решение которой находится среди данных, например: «Сколько зерна продано государству с первого участка?»).
Возможен и иной путь поиска. Построение самого процесса решения (синтез) осуществляется последовательным решением подзадач в обратном порядке.
Наряду с анализом и синтезом в обучении математике часто используются аналогия, обобщение и конкретизация.
Принцип сознательности обучения ориентирует учащихся на осознание путей получения новых знаний. Это осознание формируется на основе практики целенаправленного применения методов научного познания. Полезным является также краткий методологический комментарий процесса поиска решения математических задач.
Сравнение и аналогия
Сравнение и аналогия-логические приемы мышления, используемые как в научных исследованиях, так и в обучении.
С помощью сравнения выявляется сходство и различие сравниваемых предметов, т. е. наличие у них общих и необщих (различных) свойств.
Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия:
1) сравниваемые понятия однородны и 2) сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют существенное значение.
Рассуждение по аналогии имеет следующую общую схему:
А обладает свойствами А, В, С, Д,
В обладает свойствами А, В, С,
Вероятно (возможно) В обладает и свойством Д.
Как видим, заключение по аналогии является лишь вероятным (правдоподобным), а не достоверным. Поэтому аналогия, как правило, не является доказательным рассуждением, т. е. рассуждением, которое может служить доказательством. («Как правило» потому, что имеется исключение, связанное с особым видом аналогии, о котором речь пойдет дальше.) Однако в обучении, как, впрочем, и в науке, аналогия часто полезна тем, что она наводит нас на догадки, т. е. служит эвристическим методом. В обучении же математике не менее важно, чем учить доказывать, это учить догадываться, что именно подлежит доказательству и как найти это доказательство.
Например, в основе координатного метода лежит идея взаимно однозначного соответствия между множеством точек прямой (плоскости или пространства) и множеством действительных чисел (пар или троек чисел), переводящего некоторые отношения между точками в отношения между числами (парами или тройками чисел). Это взаимно однозначное соответствие является изоморфизмом, позволяющим осуществить однозначный перевод свойств с языка, описывающего структуру множества точек прямой (плоскости или пространства), на язык, описывающий структуру множества Я (^ или ^), и обратно.
Возможность применения аналогии, казалось бы, к совершенно различным объектам основана на совпадении математических моделей этих объектов или принадлежности этих моделей к одному классу.
Вспомним слова В. И. Ленина: «Единство природы обнаруживается в «поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений». Простейшее дифференциальное уравнение
Все перечисленные явления и процессы обладают глубоким сходством при всем внешнем различии, выражающемся тем, что их математические модели принадлежат одному классу моделей (1). Это и позволяет переносить по аналогии свойства одного из этих процессов на другой (если только эти свойства выводимы из построенной модели).
Часто та или иная последовательность в изучении учебного материала обосновывается возможностью использования аналогии в обучении. Например, изучение десятичных дробей раньше обыкновенных объясняется не только тем, что именно десятичные дроби широко применяются в практике, но и возможностью использования при изучении арифметики десятичных дробей аналогии с арифметикой натуральных чисел. При изучении свойств алгебраических дробей можно использовать аналогию с обыкновенными дробями. Аналогия может служить базой для одновременного изучения арифметической и геометрической прогрессий.
Однако в установившейся практике обучения математике аналогия используется недостаточно. Иногда высказываются опасения, что с помощью аналогии мы можем прийти к ложным заключениям. Например, исходя из того, что предложение
верно (является теоремой) и на плоскости и в пространстве, а обратное предложение
верно на плоскости (является теоремой планиметрии), по аналогии утверждают, что предложение (2) верно и в пространстве, и приходят, таким образом, к ложному заключению.
Надо, однако, помнить, что в этом случае заключение по аналогии лишь правдоподобия и поэтому подлежит еще доказательству (или опровержению).
Следует отметить как недостаток, что (в практике обучения) опровержению мы почти не учим. Это является и серьезным упущением в общеобразовательном и воспитательном отношении, так как в жизни нередко возникает необходимость опровергать.
Исходя из истинности предложения (2) на плоскости, необходимо выяснить, имеет ли место аналогичное свойство в пространстве. Так как это предложение является общим (кванторы общности «для любых а, b, c подразумеваются), то для его опровержения достаточно найти такие прямые а, b, с, чтобы условие (аc и bс) выполнялось, а заключение <а || b) не выполнялось.
Мы не должны опасаться возникновения ложных заключений по аналогии. Необходимо лишь считать их гипотезами (предположениями). Ошибки, допускаемые в процессе поиска, исследования, вполне правомерны, так как чаще всего поиск ведется способом «проб и ошибок». В установившейся практике обучения, как правило, мы не даем учащимся, отвечающим на вопросы учителя, ошибаться. В этом отражается тот факт, что учебная деятельность учащихся является в основном лишь репродуктивной, а в такой деятельности ошибки недопустимы. Воспроизводить необходимо безошибочно. В продуктивной же, творческой деятельности ошибки неизбежны. Такого рода ошибками являются и те, которые появляются в результате применения аналогии в процессе поиска. Они являются составной частью метода проб и ошибок. Важно, чтобы учащиеся в поиске правильных ответов сами могли находить ошибочность возникающих в этом процессе предположений. Этому, разумеется, надо их учить.
Находить сходство, которое могло бы служить источником плодотворных рассуждений по аналогии, бывает нелегко даже в том случае, когда природа сравниваемых объектов одинакова.
(множество всех точек плоскости (пространства), расстояние которых от данной точки О равно данному числу r).
Это наводит на догадку, что сфера обладает некоторыми свойствами, аналогичными свойствам окружности. Например, что свойства взаимного расположения прямой и окружности переводятся в свойства взаимного расположения плоскости и сферы: 1) Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то плоскость и сфера не имеют общих точек. 2) Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то плоскость и сфера имеют одну и только одну общую точку. 3) Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то плоскость и сфера пересекаются по окружности (т. е. имеют бесконечное множество общих точек, лежащих на окружности). Как видно, лишь в третьем случае проявляется различие между окружностью и сферой, которое должно учитываться при формулировке аналогичных свойств. Свойство касательной плоскости тоже может быть найдено с помощью аналогии.
Обобщение, абстрагирование и конкретизация
Когда мы говорим «несущественные свойства», то имеется в виду несущественные с математической точки зрения. Один и тот же предмет может изучаться, например, и физикой, и математикой. Для физики существенны одни его свойства (твердость, теплопроводимость, электропроводимость и другие физические свойства), для математики эти свойства несущественны, она изучает лишь форму, размеры, расположение предмета.
Из приведенного краткого разъяснения видно, что абстрагирование не может осуществляться без обобщения, без выделения того общего, существенного, что подлежит абстрагированию.
Обобщение и абстрагирование неизменно применяются в процессе формирования понятий, при переход от представлений к понятиям и, вместе с индукцией, как эвристический метод.
Под обобщением понимают также переход от единичного к общему, от менее общего к более общему.
Если обобщение используется при формировании понятий, то конкретизация используется при описании конкретных ситуаций с помощью сформированных ранее понятий.
Уточним переход от единичного к общему, от менее общего к более общему и обратный переход.
В дальнейшем обучении этот класс включается в более широкий класс прямоугольников (переход от общего к более общему). При этом переходе к более широкому классу происходит сужение характеристики класса, одно из свойств, характеризующих класс квадратов (равенство всех сторон), опускается.
Так, если множество свойств, характеризующих класс предметов А, обозначить через S(А) (в традиционной формальной логике А называется объемом понятия, а S(А)-содержанием понятия), то имеет место следующее соотношение: если АВ, то S(В)S(A).
Обратный переход от более общего к менее общему, или выделение некоторого подкласса А класса В, осуществляется с помощью некоторого свойства, которым обладают некоторые элементы В, другие же не обладают им. Те элементы В, которые обладают этим новым свойством и образуют подкласс А класса В.
Присоединив это новое свойство Р к множеству свойств, характеризующих класс В, получаем множество свойств, характеризующих подкласс А, т. е. S(В) <Р>= S(A), или S(В)S(А).
В нашем примере, если к содержанию понятия «прямоугольник» (к множеству свойств, характеризующих класс прямоугольников) добавить новое свойство (равенство всех сторон), мы получим содержание понятия «квадрат» (множество свойств, характеризующих класс квадратов).
Рассмотрим с точки зрения использования обобщения и абстрагирования открытие закона коммутативности сложения, который ранее мы изучили в ином аспекте.
Исходным эмпирическим материалом здесь служат непересекающиеся множества А и В конкретных предметов (карандашей и ручек или черных и красных палочек). Легко обнаруживается опытным путем, что, присоединяя к множеству А множество В или, наоборот, к множеству В множество А, получаем одно и то же множество. Варьируя число элементов этих множеств, получаем ряд конкретных равенств:
2+3==3+2; 5+7==7+5; 4+8=8+4 и т. п.
Если просто отбросить эти числа, мы получим форму с «пустыми местами»:
которая не отражает выявленной общей закономерности, так как не отмечено, какие пустые места должны заполняться одними и теми же названиями чисел. Чтобы устранить этот недостаток полученной формы, изображают пустые места, которые должны заполняться именами одних и тех же чисел, в виде пустых «окошек» одинаковой формы. В результате получаем:
В дальнейшем разъясняется, что в математике для большего удобства вместо пустых «окошек» различной формы применяются различные буквы и получается, например,
а + b = b + а или х+у == у+х.
Как видно, обобщение и абстрагирование привело к открытию закона коммутативности сложения и одновременно к важному понятию переменной. Переходом от имен конкретных чисел к числовым переменным и осуществляется обобщение и абстрагирование.
Конкретизация основана на известном правиле вывода называемом правилом конкретизации.
Как видно, с помощью этого правила мы осуществляем переход от общего к единичному.
Обобщение, абстрагирование и конкретизация находят широкое применение в специальных методах обучения математике, о которых речь пойдет дальше.
Если некоторая реальная ситуация или связанная с нею задача приводит к еще не изученной математической модели, то приходится исследовать новый класс моделей.
Для осуществления перехода от конкретной модели к классу моделей такого типа используется обобщение и абстрагирование. Применение же результатов исследования к конкретной модели этого класса предполагает использование конкретизации.
Например, пусть некоторая задача описывается с помощью квадратного уравнения
когда учащиеся еще не умеют решать подобные уравнения.
Это является стимулом для изучения соответствующего класса уравнений (моделей)
Переход от конкретной модели (1) к классу моделей (2), т. е. от единичного к общему, осуществляется заменой коэффициентов, представляющих собой имена чисел, числовыми переменными.
После исследования этого класса моделей (построения алгоритма для решения любого уравнения этого класса) с помощью конкретизации (подстановки в формуле корней вместо а, b, с конкретных коэффициентов) решаем исходное и другие уравнения этого класса.
Процесс- абстрагирования в математике во многом отличается от аналогичного процесса в других науках, поскольку способы абстрагирования зависят от природа изучаемых объектов, характера и целей их изучения. Поэтому естественно, что характеристические особенности абстрагирования в математике неизбежно должны находить некоторое отражение и в методах обучения математике.
Основой абстракции отождествления является отношение эквивалентности. При установлении отношения эквивалентности в исследуемом множестве объектов эквивалентные объекты отождествляются по какому-нибудь свойству, которое абстрагируется от остальных свойств этих объектов и становится самостоятельным абстрактным понятием, находящимся на более высокой ступени абстракции, чем объекты, от которых оно было абстрагировано.
Так, отношение равночисленности множеств объединяет в один класс все конечные множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие (эквивалентные множества). От множеств, принадлежащих одному и тому же классу эквивалентности, абстрагируется их общее свойство, характеризующее этот класс. Это свойство и является самостоятельным понятием натурального числа, выражающего численность множеств (одна и та же для каждого множества) из данного класса.
Так формировалось понятие натурального числа в длительном историческом процессе, так оно формируется и в обучении дошкольников и младших школьников.
Мы должны предоставить детям возможность сравнивать множества различных предметов по их численности, обнаруживать, что между некоторыми множествами удается установить взаимно однозначное соответствие, между другими не удается. Так возникают классы равночисленных множеств, которым приписываются в качестве характеристик определенные натуральные числа.
Абстрагирование в математике часто выступает как многоступенчатый процесс, результатом которого являются абстракции от абстракций.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Отношение сонаправленности лучей (плоскости или пространства) разбивает множество лучей на классы эквивалентности (классы сонаправленных лучей). Все лучи одного класса отождествляются по свойству одинаковости направления (отношению сонаправленности). По существу каждый класс сонаправленных лучей представляет собой одно направление. Но это направление определяется любым лучом (представителем) этого класса.
Отношение подобия фигур разбивает множество всех фигур на классы эквивалентности (классы подобных фигур). Все фигуры одного класса характеризуются одинаковостью формы. По существу каждый такой класс можно называть формой. Но эта форма определяется любой фигурой (любым представителем) этого класса.
В школьном обучении не всегда явно вычленяются все этапы абстрагирования. В частности, образование классов эквивалентности, как правило, протекает неявно. Наблюдается свойство у некоторых предметов данного рода или отношение между ними, которое затем абстрагируется от этих предметов и становится самостоятельным понятием. Часто, ничего не говоря о классах эквивалентности, мы сразу же пользуемся представителями этих классов. Проиллюстрируем это на примере.
Рассмотрим множество всевозможных направленных отрезков или пар точек плоскости или пространства (пару точек (А, В) можно изобразить в виде направленного отрезка с началом А и концом В). Установим в этом множестве отношение эквивалентности т. е. два направленных отрезка эквивалентны, если соответствующие лучи сонаправлены, а длины этих отрезков равны.
Так как это отношение является отношением эквивалентности, то оно порождает разбиение множества всех направленных отрезков на классы эквивалентности.
Теперь возможны два методически различных продолжения: а) каждый класс эквивалентности называть вектором (это по существу то же, что называть вектором параллельный перенос, так как класс эквивалентных пар точек определяет параллельный перенос); б)- называть вектором направленный отрезок, т. е. отождествить класс эквивалентности с любым его представителем.
Такое отождествление вполне правомерно, так как практически в физических и других приложениях векторов мы работаем не с классами эквивалентных направленных отрезков, а с теми или иными представителями этих классов, т. е. с направленными отрезками, исходящими из определенных точек.
Наряду с абстракцией отождествления при построении математических моделей действительности, а следовательно, и при обучении математике используется и такой специфический прием абстрагирования, как идеализация.
Под идеализацией имеется в виду образование понятий, наделенных не только свойствами, отвлеченными от их реальных прообразов, но и некоторыми воображаемыми свойствами, отсутствующими у исходных объектов. Это делается для того, чтобы посредством изучения идеализированных образов облегчить в конечном счете изучение их реальных прообразов.
Разъяснение этого в процессе обучения на конкретных примерах имеет важное воспитательное значение, раскрывая связь абстрактных, идеализированных понятий с реальным миром. Оно способствует также пониманию способа математизации, построения математических моделей реальных ситуаций.
Действительно, нигде в природе не встречается «геометрическая точка» (не имеющая размеров), но попытка построения геометрии, не использующей этой абстракции, не приводит к успеху. Точно так же невозможно развивать геометрию без таких идеализированных понятий, как «прямая линия», «плоскосгь»,. «шар» и т. д. Все реальные прообразы шара имеют на своей поверхности выбоины и неровности, а некоторые несколько отклоняются от «идеальной» формы шара (как, например, земля), но если бы геометры стали заниматься такими выбоинами, неровностями и отклонениями, они никогда не смогли бы получить формулу для объема шара. Поэтому мы изучаем «идеализированную» форму шара и, хотя получаемая формула в применении к реальным фигурам, лишь похожим на шар, дает некоторую погрешность, полученный приближенный ответ достаточен для практических потребностей. Это должно быть доведено до сознания учащихся.
Особым видом идеализации является абстракция потенциальной осуществимости. Например, при построении натуральных чисел абстрагируются от того, что невозможно написать или назвать число, содержащее в десятичной записи слишком много цифр (например, 10 ). Нам достаточно допустить возможность, как только дошло до некоторого числа п, написания и следующего за ним числа п + 1. Точно так же при изучении геометрии, пользуясь изображениями лишь конечных участков (отрезков) прямой, мы допускаем возможность неограниченного продолжения их в обе стороны или допускаем возможность безграничного деления отрезка или других фигур.