часы безье что это

Часы безье что это

За два десятилетия, прошедших с момента появления программ, имитирующих аналоговые часы, их внешний вид почти не изменился. Почти всегда программисты рисуют стрелки часов в виде незатейливых прямоугольников, но теперь пришла пора осваивать новые возможности. Для этого мы нарисуем стрелки при помощи кривых Безье.

Вспомните программу AnalogClock из главы 10, использующую элемент управления из класса ClockControl. К счастью, я предусмотрительно изолировал код для рисования стрелок в защищенных виртуальных методах этого класса. Вот класс BezierClockControl с новыми методами DrawHourHand и DrawMinuteHand, вызывающими DrawBeziers.

При каждом вызове методу DrawBeziers передается массив из 16 структур Point для рисования 5 кривых Безье (помните, что при использовании метода DrawBeziers для рисования первой кривой Безье требуется задать 4 точки, а для каждой дополнительной кривой — по 3).

Исходная программа AnalogClock так мала, что я не вижу смысла использовать ее в качестве родительского класса. Вместо этого я написал совершенно новую программу BezierClock на основе класса BezierClockControl.

А вот результат ее работы:

Фигурный кончик каждой стрелки рисуется двумя симметричными кривыми Безье. Прямая часть стрелки нарисована другой парой кривых Безье, а закругленная часть в центре циферблата — еще одной кривой. Таким образом, каждая стрелка нарисована пятью кривыми.

Источник

Часы безье что это

Часы по принципу кривых Безье – служба точного времени онлайн

Узнать точное время, где бы вы ни находились, помогают часы – за период существования этой вещи придумывались сотни моделей, от наручных и настенных до электронных. Одной из современных вариаций являются часы Безье – они созданы на основе кривых, где цифры плавно перетекают из одной в другую, создавая красивый эффект анимации. Мы не могли пройти мимо таких часов и добавили их на сайт – здесь вы можете узнать точное время, причем в очень необычном, интересном формате.

История создания часов на кривых Безье

Появлением занимательных часов со стильной анимацией мир обязан Пьеру Безье – французскому инженеру, который активно работал в сфере математики, механики, электрики. Развлекать народ ученый не собирался, его интересовали более практичные цели, ведь в 1960-е годы он трудился в компании Рено, где создал компьютерную систему на основании кривых линий, используемую для проектирования кузовов автомобилей.

Хотя кривые и носят имя Безье, их создание впервые произошло по инициативе другого специалиста – математика и физика Поль же Кастельжо. Цель проекта у Кастельжо, кстати, была идентичной – он разработал алгоритм для проектирования кузовов автомобилей Citroen, но программа длительный срок держалась в строгом секрете. Позднее кривые Безье начали активно использовать при автоматическом проектировании и компьютерной графике. Многие веб-мастера и специалисты в области ПО применяют часы Безье для знакомства с языком программирования, технологией анимации.

Как пользоваться часами Безье?

Чтобы узнать точное время по часам Безье, нет никаких хитростей, ведь вы находитесь на странице, где этот сервис уже работает в автоматическом режиме. Для использования:

Наш сервис будет полезен для каждого гостя, который хочет лично увидеть часы Безье или узнать точное время, но обычные часы с привычными цифрами порядком надоели. Мы создали сервис занимательного времени, которым легко и бесплатно пользоваться, а еще здесь вы найдете другие интересные программы и полезные функции, облегчающие повседневную жизнь.

Источник

Bezier Clock — часы на кривых Безье, где цифры плавно перетекают из одной формы в другую.

Художник Марк Форманек при поддержке компании Datenstrudel создал часы, которые строятся в режиме реального времени. 24 часа, 70 рабочих, 30 досок, 1611 изменений. Конструкция 4 метра в высоту и 12 в длину возводилась непрерывно на протяжении суток в берлинском Парке скульптур. Видеозапись процесса синхронизируется с точным московским временем.

В конце рабочего дня можно смотреть, как другие работают =)

Вторая без первой не заведётся

Требовательный код

Заказчик: ваш код требует слишком много памяти

Програмист: сейчас я вам покажу, что такое много памяти

JS — подстрекатель

Чтобы понять это прикол нужен дополнительный фреймворк

Ване в следующем году исполняется 221

Как пофиксить все краши:

Теперь понятно откуда они берутся

Как и зачем Безос строит часы на 10 000 лет

Идею часов публике предложил изобретатель Дэнни Хиллис в 1995 году – как способ заставить людей подумать о будущем планеты.

Я хочу построить часы, которые тикают раз в год. Стрелка шагает раз в 100 лет, а кукушка выезжает раз в тысячелетие.

Хиллис сделал маленький прототип, начал прорабатывать дизайны, опубликовал свои размышления в газетах. В итоге больше 3300 людей проспонсировали эту сумасшедшую затею, и она выросла в проект Clock of the Long Now. Дэнни Хиллис с его организацией даже смогли создать работающую версию часов в масштабе 1:100.

С деньгами Безоса команда перешла от разработки прототипов к созданию полноценной модели. Инженеры под руководством Хиллиса по одной стали создавать гигантские шестеренки из нержавеющей стали, которых для проекта требовалось несколько сотен. Им дали разрешение на выработку горы (стоящей на персональной территории Безоса площадью 770 км2, в 7 раз больше Парижа). А теперь вот – бурение закончено, и первые компоненты гигантской махины начинают вставлять вглубь этих вертикальных пещер.

Основная часть часов будет установлена прямо под линией горного хребта, чтобы механизм был максимально защищен с каждой стороны. Чтобы добраться до него, человеку придется сначала взбираться на гору, а потом найти вход в «секретный» тоннель (можете представить врата Мории из «Властелина колец»). Внутри – полная тишина. Только где-то далеко вверху качается массивный маятник, благодаря которому часы отсчитывают каждые 10 секунд (но этого вы и не услышите, и не увидите – устройство старается не тратить энергию на такие мелочи).

Безос и команда The Long Now постоянно сравнивают проект с египетскими пирамидами. Это огромная инженерная задача, показывающая, какими знаниями обладает человечество на данном этапе своего развития. Пирамиды пока что простояли 4500 лет. Часы должны будут проработать в два с лишним раза дольше, не говоря уже о тонкости деталей, которые в них используются. Десять тысяч лет назад наши предки только начинали переход от охоты и собирания ягод к сельскому хозяйству (кстати, сейчас предполагается, что первыми стали выращивать тыквы, чтобы использовать их в дороге в качестве бутылок). Что случится через десять тысяч лет – кто знает? Может быть, тогда на планете будут жить другие существа, и часы в горе будут единственным напоминанием о нашей цивилизации.

Именно поэтому проект стоит всех тех денег, которые в него вложены. Чтобы у людей появился повод задуматься о таких вещах. Дэнни Хиллис объясняет:

У тебя есть представление о пирамидах. Это то, что объединяет тебя с прошлым. Но у нас нет ничего такого для будущего. У нас нет символа, объединяющего нас с будущим. Мне кажется, он нужен миру. Это интересно, это весело, это делает нас более человечными.

Благодаря пирамидам сейчас средний обыватель знает о Древнем Египте намного больше, чем о Вавилоне, ведийской цивилизации или шумерах. Возможно, в будущем и о нас будут говорить как «о тех людях, которые построили те странные часы». По крайней мере, об этом думают Безос, Хиллис и их соратники.

В 2010-м подрядчики начали отливать три трехметровые шестеренки из нержавеющей стали и мальтийские механизмы, которые будут звонить по колоколам. Между тем, компьютеры в Лабораториях реактивного движения NASA проводили месяцы, рассчитывая положение солнца в небе в полдень каждый день в течение следующих 10 000 лет. Эти данные часы потом будут использовать для самостоятельной коррекции, чтобы их подсчет всегда был точным.

В 2011-м начались раскопки на территории пустыни в Техасе, где один из механизмов часов будет установлен глубоко под землей. Строители пробурили горизонтальные тоннели в основании горы, и «тестовое» отверстие длиной 150 метров сверху, пока оно не пересеклось с тоннелями. Туда они установили движущуюся платформу с 2,5-тонной механической рукой, со специальной пилой на конце, способной вырезать камень. Она начала медленно идти вверх, ступенька за ступенькой вырезая винтовую лестницу, по которой вниз могли бы спускаться люди (рабочие, монтирующие остальные части механизма).

Тогда же финальный прототип «Clock of the Long Now» был выставлен в одном из музеев Смитсоновского института в Вашингтоне. Часы состоят из огромных металлических шестеренкок, гигантского груза из камня и точно откалиброванного титанового спускового механизма в защитном кварцевом ящике.

В-третьих, даже если рычаг уже столетиями не подкручивали вручную, часы используют разницу дневной и ночной температур на вершине горы, чтобы собирать энергию для продолжения отсчета времени.

На циферблате не отображаются текущие часы и минуты. Вместо этого, когда вы к нему подойдете, вам будут видны время, дата, а также расположение солнца, звезд и планет с последнего раза, когда кто-то вручную «заряжал» часы – пусть даже это было триста лет назад. Чтобы посмотреть на текущее время, надо будет (возможно, очень долго!) вращать колесо, заряжая часы и двигая стрелки вперед, пока они автоматически не застопорятся на текущем моменте.

За бой курантов отвечает механический компьютер с мальтийскими механизмами. Он может генерировать новую мелодию каждый день на протяжении 10 000 лет. Над этими мелодиями, которые «выбиваются» из десяти колоколов, работал известный британский композитор Брайан Ино. В основном часы будут играть, когда посетитель их «раскрутит». Но время от времени – и самостоятельно, даже если в горе нет никого, кто мог бы их услышать.

Некоторые журналисты говорят, что это просто большой PR-проект. Мол, всем известно, что Безос соперничает с Маском. Его космическая компания Blue Origin, существующая исключительно на деньги миллиардера (без поддержки NASA), запустила несколько челноков в космос, но без особого интереса со стороны медиа. А объявление о постройке часов на десять тысячелетий не случайно пришло буквально спустя пару недель после запуска машины Маска в космос. Так глава Amazon хочет попытаться переключить хоть чуть-чуть внимания на себя и на свои достижения. Тем более что гора с часами стоит прямо напротив космопорта, с которого Blue Origin пускает свои многоразовые ракеты-носители.

Сам Безос на такие комментарии не реагирует. Он говорит, что его единственная задача – заставить человечество думать не в годах или десятилетиях, а в масштабах, которые реально что-то значат. Только так люди смогут чего-то достигнуть. Чтобы проиллюстрировать это, он дает задачу для решения:

Допустим, вам нужно было бы устранить проблему голода в мире в течение ближайших 5 лет. Как бы вы начали это решать? Это просто невозможно, правильно? Мы не можем решить задачи такого масштаба в короткий срок, как бы мы ни старались. Но что, если вам дадут 200 лет? У вас будет шанс.

Что важнее, вы бы начали думать о проблеме с другого угла. Вы бы начали с корней, подошли к ней глобально. Ваши действия были бы направлены не на улучшение жизни ваших современников, а на заботу о людях, которые появятся через века. Мне кажется, нам пора начать мыслить такими категориями.

Многие называют финансирование часов The Long Now одной из самых эксцентричных и странных выходок Джеффа Безоса, и сомневаются в достижимости задач проекта. На что миллиардер отвечает:

Это самая здравомыслящая вещь, которую я когда-либо делал в своей жизни.

Мсье знает толк в приложениях

Как мы упоролись и откалибровали кофе-машину на спектрофотометре

Однажды, посреди рабочего дня мы внезапно осознали, что мы больше не можем так жить. Душа требовала совершить что-то бессмысленное и беспощадное во имя науки. И мы решили откалибровать кофе-машину. Нормальные люди тыкают в дефолтную кнопку и пьют все, что вытечет из кофеварки. Чуть более продвинутые для этого открывают инструкцию и тщательно ей следуют. Может быть еще читают рекомендации обжарщика, если конечно это не прогорклые noname зерна, которые пару лет лежали на безымянном складе. Нас к нормальным можно отнести с большой натяжкой, поэтому мы решили идти своим путем. Короче говоря, под легкой кофеиновой интоксикацией от седьмой чашки эспрессо мы решили задействовать весь возможный арсенал лаборатории, чтобы получить эталонный напиток.

Добро пожаловать в мир безумия, ультрацентрифуг, спектрофотометрии кофе в специальных планшетах и небольшого количества python, pandas и seaborn, чтобы визуализировать все это безобразие.

Для начала, надо понять, что мы хотим получить. Основной смысл правильной настройки кофеварки в том, чтобы получить сбалансированный профиль экстракции. При этом не меньше половины успеха зависит от правильного зерна, которое было обжарено с соблюдением всех деталей термопрофиля. У хреновых обжарщиков зерна могут быть неравномерной обжарки или с другими дефектами. Но даже идеальный кофе можно превратить в жуткое пойло, если неправильно его приготовить.

Оптимальная температура для классического способа приготовления кофе — 90-95°С. При этом количество зерен должно быть примерно 10-20 г/ 100 мл воды. Также надо учитывать, что процесс экстракции идет неравномерно, от более легких и летучих к менее растворимым компонентам. Вся беда заключается в том, что при выходе за оптимальные значения температуры воды, степени компрессии кофейной таблетки (для эспрессо), степени помола, соотношения кофе к воде или времени мы можем не успеть «вытащить» из зерна все, что нам нужно. Или наоборот захватить чрезмерное количество тяжелых фракций, испортив вкус и баланс напитка. В частности, при гипер-экстракции в чашку попадает избыточное количество хлорогеновых кислот, которые заставляют кофе чрезмерно горчить и сдвигают баланс вкуса в кислую сторону. При недостаточной экстракции будет что-то водянистое и печальное на вкус.

Хининовая и гидроксикоричные кислоты, структурная основа хлорогеновых кислот

В автоматической кофе-машине нам доступны для регулировки только два параметра: помол и компрессия. Степень помола определяется механическим вращением регулятора, который устанавливает зазор между жерновами. Компрессия свежесмолотой кофейной таблетки предустановлена и имеет 5 условных уровней сжатия. Наша задача состоит в подборе оптимальных параметров, при которых концентрация и баланс растворенных веществ будут давать идеальный вкус.

Сам кофе для тестирования нам прислали для бесчеловечных экспериментов из Торрефакто, за что им огромное спасибо. Две основные категории: B и C (темная и светлая обжарка в их классификации).

Темная обжарка. Мы как-то уже перешли на среднюю, но для сравнения этот сорт очень достойный вариант. Особенно хорош с молоком, но для наших задач мы будем готовить из него эспрессо. Вкус довольно простой, без тонких нюансов, но очень насыщенный.

Бразилия Ипанема Дульче

Просто офигительный ароматный сорт, с очень сбалансированным вкусом и сладкой фруктовой кислинкой. Само зерно содержит большое количество углеводов, что и придает легкую сладость.

Для каждого сорта и каждого из пяти уровней сжатия кофейной таблетки выбирается по 8 чашек образцов. Заодно сотрудники лаборатории плюются или радуются полученному результату. Вслепую, естественно. Выбирают оптимальные по вкусу образцы, чтобы потом сравнить с объективными показателями аппаратного исследования.

Когда все образцы готовы, достаем их из морозильной камеры и кладем в орбитальный шейкер. Да, мне тоже нравится, как это звучит. Почти как орбитальный планетарный лазер, но это просто шейкер. Ждем полной разморозки образцов и заодно все хорошо перемешиваем.

Источник

Кривые Безье и Пикассо

Пабло Пикассо в своей студии на фоне картины «Кухня», фотография Херберта Листа.

Художник и простота

Одни из самых любимых мной работ Пабло Пикассо — это его линейные рисунки. Он изобразил на некоторых из них животных: сову, верблюда, бабочку и т.д. Эта работа под названием «Собака» висит на моей стене:

(Можете перейти к интерактивному демо, в которой мы воссоздали «Собаку» с помощью представленных в статье математических расчётов)

Эти рисунки чрезвычайно просты, но каким-то образом им удаётся глубоко тронуть зрителя. Они создают впечатление простоты композиции и реализации. Одно движение руки и подпись создают настоящий шедевр! Рисунок одновременно кажется и небрежной импровизацией, и точно подобранной увертюрой в симфонии изящества. На самом деле мы знаем, что процесс работы Пикассо был глубоким. Например, в 1945-1946 годах Пикассо создал серию из одиннадцати рисунков (литографий, если точнее), демонстрирующих его постепенный прогресс в визуализации быка. Первые были более-менее похожи на реалистичные, но в дальнейшем мы видим, как бык превращается в саму свою сущность, а последний рисунок состоит всего из десятка линий. В процессе развития серии рисунков мы видим быка, напоминающего некоторые из других работ Пикассо (номер 9 напоминает мне скульптуру в чикагском Daley Center Plaza). Здесь можно подробнее прочитать о серии литографий.

«Бык» Пикассо. Фотография сделана Джереми Куном в Институте искусств в Чикаго. Нажмите на изображение, чтобы увеличить его.

Я не буду притворяться опытным художником (я не смог бы нарисовать быка, даже если бы от этого зависела моя жизнь), зато я могу распознать математические аспекты его картин и написать чертовски хорошую программу. Есть один очевидный способ рассмотрения линейных рисунков в стиле Пикассо как математических объектов, и это конечно же кривые Безье. Давайте начнём с изучения теории кривых Безье, а потом напишем программу для их отрисовки. Используемая в ней математика не требует никаких дополнительных знаний, кроме основ алгебры и полиномов, и я постараюсь как можно меньше вдаваться в сложные подробности. Мы изучим очень простой алгоритм рисования кривых Безье, реализуем его на Javascript, а затем воссоздадим один из линейных рисунков Пикассо с помощью нескольких кривых Безье.

Кривые Безье и параметризация

Когда кто-нибудь просит вспомнить «кривые», большинство людей (возможно, отравленных преподаванием основ математики) или начинает трястись от страха, или рисует часть графика многочлена. Хотя это вполне правильные и уважаемые кривые, но они представляют лишь небольшую часть мира кривых. Особенно нас интересуют кривые, которые не являются частью графиков функций.

Например, лекало — это физический шаблон, используемый для (ручного) рисования плавных кривых. Просто соединяя рёбрами любую часть этих кривых, мы обычно не можем получить график функции. Очевидно, что нам нужна более общая идея о том, что же такое кривые. Проблема в том, что в разных областях математики под «кривой» подразумеваются различные понятия. Кривые, которые мы будем изучать, называемые «кривыми Безье» — это особый случай полиномиальных плоских кривых с одним параметром. Это звучит слишком сложно, но на самом деле это означает, что всю кривую можно задать двумя многочленами: одним для значений и вторым для значений . Оба многочлена имеют одну переменную, которую мы назовём ( определена на множестве вещественных чисел).

На примере всё должно стать понятнее. Давайте подберём два простых многочлена от , допустим, и . Если мы хотим найти точки на этой кривой, мы просто выбираем значения и подставляем их в оба уравнения. Например, подставив , мы получим точку на кривой. Располагая все такие значения на графике, мы получим кривую, которая точно не является графиком функции:

Но очевидно, что мы можем записать любую функцию с одной переменной в таком параметрическом виде: просто выберем и . Итак, они на самом деле являются более общими объектами, чем обычные функции (однако в этой статье мы будем работать только с многочленами).

Вкратце повторим: полиномиальная плоская кривая с одним параметром задаётся как пара многочленов от одной переменной . Иногда, когда нам нужно выразить всю систему одним уравнением, мы можем взять коэффициенты общих степеней и записать их как векторы и . Благодаря приведённому выше примеру мы можем переписать это как .

Здесь коэффициенты — это точки на плоскости (те же, что и векторы), и мы выделяем функцию жирным, чтобы подчеркнуть, что выходные данные являются точкой. Изучающие линейную алгебру могут понять, что пары многочленов формируют линейное пространство, и скомбинировать их как . Но для нас удобнее будет воспринимать точки как коэффициенты одного многочлена.

Мы также ограничим наше внимание рассмотрением однопараметрических плоских кривых, описываемых полиномом, для которых переменная допускается на интервале от нуля до единицы. Такое ограничение может показаться странным, но на самом деле так может быть записана любая конечная однопараметрическая плоская кривая, описываемая полиномом (мы не будем вдаваться в подробности того, как это реализуется). Ради краткости далее я буду называть однопараметрическую плоскую кривую, определяемую полиномом, у которой находится в интервале от нуля до единицы, просто «кривой».

С этими кривыми мы можем делать очень интересные вещи. Например для любых двух точек в плоскости мы можем описать прямую между ними как кривую: . И в самом деле, при значение точно равно , при точно равно , и уравнение является линейным полиномом при . Более того (если не вдаваться в подробности матанализа), линия проходит с «единичной скоростью» от до . Другими словами, мы можем воспринимать как описывающую движение частицы из по времени, и во время частица пройдёт путь на четверть, а во время пройдёт половину пути, и т.д. (Примером прямой, не имеющей единичную скорость, является, например .)

Для более общего случая давайте добавим третью точку . Мы можем описать путь, проходящий через в , и он «направляется» точкой , лежащей посередине. Эта идея «направляющей» точки немного абстрактна, но в отношении вычислений не более сложна. Вместо движения из одной точки в другую с постоянной скоростью, мы хотим двигаться из одной линии к другой с постоянной скоростью. То есть мы можем назвать две кривые, описывающие прямые из и кривыми и . Тогда кривая, «направляемая» точкой , может быть записана как кривая

Выполнив все эти умножения, мы получим формулу

С течением времени точка движется вдоль прямой между точками и , которые также движутся. Так мы получаем кривую, которая выглядит следующим образом

Этот скриншот взят из потрясающего демо консультанта по визуализации данных Джейсона Дейвиса. Он идеально демонстрирует математическую идею. В демо можно перетаскивать все три точки, чтобы посмотреть, как это влияет на конечную кривую. Стоит поиграть с ней хотя бы пять минут.

Вся идея кривых Безье заключается в обобщении этого принципа: имея список точек на плоскости, мы хотим описать кривую, которая проходит от первой до последней точки, и «направляется» между остальными точками. Кривая Безье является реализацией такой кривой (однопараметрической плоской кривой, определяемой полиномом), которая становится индуктивным продолжением описанного выше: мы движемся с единичной скоростью из кривой Безье, заданной первыми точками списка до кривой, заданной последними точками. В простейшем случае это отрезок прямой линии (или единственная точка, если угодно). С формальной точки зрения,

Определение: для заданного множества точек на плоскости мы рекурсивно определяем кривую Безье степени как

Мы назовём контрольными точками .

Хотя концепция перемещения с единичной скоростью между двумя кривыми Безье более низкого порядка является настоящей сутью дела (и позволяет нам подойти с к решению с вычислительной точки зрения), можно просто всё это перемножить (с помощью формулы биномиальных коэффициентов) и получить формулу в явном виде. Она будет следующей:

Например, кубическая кривая Безье с контрольными точками будет иметь уравнение

Кривые Безье более высокого порядка может быть достаточно сложно отобразить геометрически. Например, ниже показана кривая Безье пятой степени (с шестью контрольными точками).

Кривая Безье пятой степени, иллюстрация из Википедии.

Отрисованные дополнительные отрезки прямых демонстрируют рекурсивную природу кривой. Самые простые — зелёные точки, перемещающиеся между контрольными точками. Синие точки перемещаются по отрезкам прямых между зелёными точками, розовые перемещаются по отрезкам между синими, оранжевые — между розовыми, и, наконец, красная точка перемещается по отрезку прямой между оранжевыми точками.

Без рекурсивной структуры задачи (просто из наблюдения за кривой) было бы сложно понять, как можно всё это вычислить. Но как мы увидим, алгоритм отрисовки кривой Безье очень естественен.

Кривые Безье как данные и алгоритм де Кастельжо

Давайте выведем и реализуем алгоритм отрисовки кривой Безье на экране, воспользовавшись исключительно возможностью рисования прямых линий. Для простоты мы ограничимся рассмотрением только кривых Безье третьей степени (кубических). И в самом деле, любая кривая Безье по рекурсивному определению может быть записана как сочетание кубических кривых, и на практике кубические кривые обеспечивают баланс между эффективностью вычислений и выразительностью. Весь код в этом посте написан на Javascript и выложен на странице этого блога на Github.

Итак, кубическая кривая Безье представляется в программе списком из четырёх точек. Например,

В большинстве графических библиотек (в том числе в стандартной HTML5 canvas) существует графический примитив, способный выводить кривые Безье на основании списка из четырёх точек. Но предположим, что у нас нет такой функции. Предположим, что мы можем рисовать только прямые линии. Как же мы можем нарисовать аппроксимацию кривой Безье? Если такой алгоритм существует (а он есть, и мы убедимся в этом), то мы можем создать настолько точную аппроксимацию, что она будет визуально неотличима от истинной кривой Безье.

Важнейшее свойство кривых Безье, которое позволит нам создать такой алгоритм, заключается в следующем:

Любую кубическую кривую Безье от начала до конца можно разделить на две, которые вместе будут описывать ту же кривую, что и .

Давайте посмотрим, как же это сделать. Пусть будет кубической кривой Безье с контрольными точками , и допустим, что мы хотим разделить её ровно пополам. Мы заметим, что формула кривой при подстановке примет вид

Более того, наше рекурсивное определение даёт нам способ вычислить точку на основании кривых меньшей степени. Но когда вычисления выполняются при 1/2, их формулы достаточно просто записать. Изображение выглядит так:

Зелёные точки — это кривые первой степени, розовые точки — кривые второй степени, а синяя точка — это кубическая кривая. Мы заметим, что поскольку каждая из кривых вычисляется при , каждую из этих точек можно описать как среднюю точку уже известных нам точек. Поэтому , и т.д.

На самом деле, разделение на две нужные нам кривые точно задаётся этими точками. То есть половина кривой задаётся с контрольными точками , в то время как «правая» половина имеет контрольные точки .

Как мы можем быть уверены, что это точно те же кривые Безье? Ну, это просто полиномы. Мы можем проверить их на равенство с помощью запутанных алгебраических вычислений. Но стоит заметить, что поскольку проходит только полпути вдоль , то проверка их на равенство аналогична приравниванию с , поскольку изменяется в интервале от нуля до единицы, изменяется в интервале от нуля до половины. Аналогично, мы можем сравнить с .

Алгебраические вычисления очень запутаны, но вполне посильны. В доказательство привожу скринкаст того, как я выполняю вычисления, доказывающие идентичность двух кривых.

Теперь, когда мы всё проверили, у нас есть хороший алгоритм для разделения кубической кривой Безье (или любой кривой Безье) на две части. На Javascript он будет выглядеть так:

Здесь curve — это список из четырёх точек, как описано в начале этого раздела, а выходными данными является список двух кривых с правильными контрольными точками. Используемая функция midpoints достаточно проста, и для полноты мы тоже добавим её сюда:

Она просто получает на входе список точек и вычисляет их последовательные средние точки. То есть список из точек превращается в список из точек. Как мы видели, нам нужно вызывать эту функцию для вычисления сегментации кривой Безье степени .

Как я объяснил ранее, мы можем продолжать подразделять нашу кривую снова и снова, пока каждая из небольших частей не станет практически прямой. То есть наша функция для отрисовки кривой Безье будет следующей:

Разумеется, это ставит перед нами очевидный вопрос: как мы можем определить, что кривая Безье плоская? Для этого есть множество способов. Можно вычислять углы отклонения (от прямой) в каждой внутренней контрольной точке и складывать их. Или можно вычислить объём образуемого четырёхугольника. Однако вычисление углов и объёмов обычно не так удобно: на расчёты углов тратится много времени, объёмы имеют проблемы со стабильностью, а стабильные алгоритмы не очень просты. Нам нужно измерение, для которого достаточно простой арифметики и, возможно, проверки нескольких логических условий.

Оказывается, что такое измерение существует. Его изначально приписывают Роджеру Уилкоксу, но оно достаточно просто выводится вручную.

В сущности, мы хотим измерить «плоскостность» кубической кривой Безье вычислением расстояния от настоящей кривой во время до того места, где кривая должна бы быть во время , если она является прямой.

Формально, имея заданную с контрольными точками , мы можем определить прямолинейную кубическую кривую Безье как колоссальную сумму

Здесь не происходит ничего волшебного. Мы просто задаём кривую Безье с контрольными точками . Нужно воспринимать их как точки, которые находятся на 0, 1/3, 2/3 и 1 доли пути от до на прямой линии.

Теперь мы зададим функцию , которая будет расстоянием между двумя кривыми в одно и то же время . Значение плоскостности — это максимум функции по всем значениям . Если значение плоскостности ниже определённого уровня допуска, то мы будем считать кривую плоской.

Добавив немного алгебры, мы можем упростить это выражение. Во-первых, значение , для которого расстояние максимально, аналогично тому, у которого максимален квадрат, поэтому мы можем избежать вычисления квадратного корня в конце и учитывать это при выборе допуска плоскостности.

Теперь давайте запишем разность как один полином. Во-первых, мы можем избавиться от троек в и записать полином как

и поэтому равно (при сложении коэффициентов подобных членов

Вынеся за скобки из обоих членов и обозначив , , получим

Поскольку максимумом произведения является произведение максимумов, мы можем ограничить вышеприведённую величину произведением двум максимумов. Причина этого в том, что мы сможем просто вычислить два максимума по отдельности. Вычислить максимум несложно и без разделения, но при таком способе нам потребуется меньше этапов вычислений в готовом алгоритме, а визуальный результат будет таким же хорошим.

Применив элементарные вычисления с единственной переменной, получим, что максимальное значение для оказывается равным . А норма вектора — это просто сумма квадратов его компонентов. Если и , то представленная выше норма равна

И заметьте: для любых вещественных чисел величина в точности является прямой линией из в , которая нам хорошо знакома. Максимум для всех от нуля до единицы очевидно будет равен максимуму конечных точек . Так что максимум нашей функции расстояния ограничен

И поэтому наше условие плоскостности заключается в том, чтобы это ограничение было меньше некоторого допуска. Мы можем безопасно разложить 1/16 на множители в это ограничение допуска, и этого будет достаточно для того, чтобы записать функцию.

Вот и она. Мы написали простую HTML-страницу, чтобы получить доступ к элементу canvas и несколько вспомогательных функций для отрисовки отрезков прямой, когда кривая достаточно плоская, и представили конечный результат в этом интерактивном демо (контрольные точки можно двигать).

Изображение, которое вы видиет на этой странице (ниже) — это моя визуализация «Собаки» Пикассо, нарисованная как последовательность кривых Безье. Думаю, что сходство вполне убедительное.

«Собака» Пикассо, собранная из последовательности девяти кривых Безье.

Хотя сам рисунок изобрели не мы (и потому не можем поставить под ним свою подпись), мы смогли представить его как последовательность кривых Безье. Можно только назвать их художественной работой. Здесь мы свели представление к одному файлу: первая строка — это размер холста, а каждая последующая строка представляет кубическую кривую Безье. Комментарии добавлены для лучшей читаемости.

«Собака», Джереми Кун, 2013 год.

Стандартизация кажется мне важной, поэтому мы определим новый тип файла «.bezier», который будет иметь показанный выше формат:

Здесь первые два целых числа определяют размер холста, первое (необязательное) целое число в каждой строке задаёт ширину линии, а curve имеет вид

Если int в начале строки отсутствует, то линии задаётся ширина в три пикселя.

Мы не так сильно углублялись в теорию кривых Безье, как могли бы. Если вы хотите изучить тему глубже (и с использованием матанализа), то см. этот длинный вводный курс. В нём содержится практически всё, что нужно знать о кривых Безье, а также представлены написанные на Processing интерактивные демо.

Искусство низкой сложности

У того, что мы сделали с «Собакой» Пикассо, есть некое философское значение. Ранее в этом блоге мы исследовали идею искусства низкой сложности, и здесь она полностью применима. Основная мысль заключается в том, что «красивое» искусство имеет описание малой длины; если более формально, то «сложность» объекта (представленного в тексте) — это длина самой короткой программы, дающей на выходе этот объект при отсутствии входных данных. Подробнее об этом можно прочитать в нашем введении в колмогоровскую сложность. Тот факт, что мы можем описать линейные рисунки Пикассо малым числом кривых Безье (и относительно короткой программой, дающей на выходе кривые Безье), должен быть глубоким заявлением о красоте самого искусства. Очевидно, что такой взгляд очень субъективен, но у него есть свои сторонники.

Сегодня существует интерес к генерируемому компьютером искусству. Например, в этих недавних соревнованиях по программированию (статья на нидерландском) участникам дали задание сгенерировать рисунок, напоминающий работу Пита Мондриана. Идея заключалась в том, что чем элегантнее алгоритм, тем выше будет его оценка. Для генерации работ Мондриана победитель использовал хэши MD5, и есть ещё множество других впечатляющих примеров (по ссылке выше представлена галерея готовых работ).

В предыдущем посте об искусстве низкой сложности мы исследовали возможность представления всех изображений в системе координат, в которой используются окружности с закрашенным внутренним пространством. Но очевидно, что в такой системе координат нельзя представить «Собаку» с очень низкой сложностью. Похоже, что кривые Безье — это гораздо более естественные системы координат. Небольшие усовершенствования, включающие в себя длину линий и небольшие искажения, не влияют на конечную сложность. Кубическую кривую Безье можно описать любым множество из четырёх точек, а для более «запутанных» описаний (с повышенной сложностью) требуется большее количество точек. Кривые Безье можно произвольно масштабировать, и это не изменит значительно сложность кривой (несмотря на то, что масштабирование на многие порядки величины добавит увеличение сложности с логарифмическим множителем, оно довольно мало). Кривые с большой шириной линий немного сложнее, чем с малой шириной, а для представления множества мелких острых изгибов требуется больше кривых, чем для длинных и плавных дуг.

Недостатком является сложность представления в виде кривой Безье окружности. На самом деле, точно это сделать невозможно. Несмотря на простоту этого объекта (он даже задаётся как единственный многочлен, хотя и с двумя переменными), лучшее, что можно с ним сделать — аппроксимировать его. То же относится и к эллипсам. На самом деле есть способы обхода этой проблемы (концепция рациональных кривых Безье, которые являются частными многочленов), но они добавляют в алгоритм отрисовки неотъемлемую сложность, а аппроксимации с использованием обычных кривых Безье выглядят достаточно хорошо.

Настоящей наградой, которую мы ещё исследуем, будет нахождение способа автоматической генерации искусства. То есть реализации одной из двух возможностей:

Источник