множество целых чисел поле
Группы, кольца, поля в математике
Группа: определение и примеры групп
Множество с алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие условия:
1) операция в ассоциативна: ;
2) в существует нейтральный элемент ;
Решение. Действительно, операция умножения определена на указанном множестве, так как
Кольцо
1) относительно операции сложения множество — коммутативная группа, т.е.
а) операция сложения коммутативна: ;
б) операция сложения ассоциативна: ;
в) существует нулевой элемент ;
г) для каждого элемента существует противоположный ему элемент ;
2) операция умножения в множестве ассоциативна:
3) операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
Кольцами являются множества целых, рациональных, действительных чисел, причем все они — коммутативные кольца с единицей. Примеры других колец, в том числе и некоммутативных, встретятся в дальнейшем. Как видим, кольцо — это множество, в котором определены три операции: сложение, умножение и вычитание.
Если операция коммутативна, то дистрибутивность слева операции относительно операции влечет дистрибутивность справа, так как
Решение. В самом деле, для любых положительных действительных чисел справедливы равенства
Следовательно, операция дистрибутивна справа относительно операции умножения чисел. Дистрибутивность слева относительно умножения опровергается примером
Пример В.7. Доказать, что множество чисел вида, где и — целые числа, является кольцом:
Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.2) имеют тоже самое представление:
Таким образом, рассматриваемое множество удовлетворяет всем условиям определения кольца.
Поле: определение и примеры полей
1) — коммутативное кольцо с единицей ;
Как видим, поле — это множество, в котором определены четыре операции: сложение, умножение, вычитание и деление. Полями, например, являются множества рациональных и действительных чисел.
Пример В.8. На множестве трех целых чисел определим две операции:
1) «сложение по модулю 3» — остаток от деления суммы на 3 (обозначим через );
2) «умножение по модулю 3» — остаток от деления произведения на 3 (обозначим через ).
Доказать, что множество является полем относительно введенных операций.
– остаток от деления на 3 суммы не изменится, если слагаемое (или не сколько слагаемых) заменить его остатком при делении на 3:
– остаток от деления на 3 произведения не изменится, если множитель (или несколько множителей) заменить его остатком при делении на 3:
Рассматриваемые в примере операции «сложения по модулю 3» и «умножения по модулю 3» можно представить в виде
Покажем, что множество является коммутативным кольцом с единицей. В самом деле, операция «сложения по модулю 3» коммутативна и ассоциативна. Это следует из коммутативности и ассоциативности сложения чисел. Действительно, из равенства следует, что
Коммутативность доказана. Заметим, впрочем, что коммутативность «сложения по модулю 3» видна непосредственно по таблице (см. рис.В.2): слагаемые и в таблице можно поменять местами, при этом таблица не изменится.
Из равенства следует, что
Ассоциативность «сложения по модулю 3» доказана.
Итак, множество относительно операции «сложения по модулю 3» является коммутативной группой.
Операция «умножение по модулю 3» ассоциативна и коммутативна, что следует из ассоциативности и коммутативности умножения целых чисел, а также свойств остатков:
Следовательно, операция «умножения по модулю 3» дистрибутивна слева относительно операции «сложения по модулю 3». Дистрибутивность справа можно не проверять, так как обе операции коммутативны.
Единичным элементом служит число 1 (что видно по таблице «умножения по модулю 3»). Следовательно, — коммутативное кольцо с единицей.
Пример В.9. Доказать, что множество чисел вида, где и — рациональные числа, является полем:
Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.З) имеют тоже самое представление:
Так как рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей и каждый элемент, отличный от нуля, имеет обратный, то оно является полем.
Множество целых чисел поле
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI
Понятие числа прошло длинный путь исторического развития. В главе II (см. ч. I) мы рассказали о том, как от простейших, натуральных чисел человек пришел к более сложным, действительным числам. Сейчас мы хотим вернуться к рассмотрению этого вопроса. Но при этом нам придется несколько отступить от того порядка, в котором исторически развивалось понятие числа.
Одним из простейших числовых множеств является множество натуральных чисел
1) коммутативный закон сложения:
2) ассоциативный закон сложения:
3) коммутативный закон умножения:
4) ассоциативный закон умножения:
5) дистрибутивный закон умножения относительно сложения:
(m + n) • k = m • k + n • k.
Что касается вычитания и деления, то эти два действия в множестве натуральных чисел выполнимы не всегда. Так, ни одна из разностей 3—5 и 2—2, а также, ни одно из частных 3 : 5 и 7 : 4 нельзя выразить никаким натуральным числом.
Чтобы действие вычитания было выполнимым всегда, множество натуральных чисел нужно расширить путем присоединения к нему всех отрицательных целых чисел и нуля. В результате такого расширения мы приходим к множеству всех целых чисел:
Числовое множество, в котором всегда выполнимы сложение и умножение, подчиненные указанным выше пяти законам, а также вычитание, называется кольцом. Таким образом, множество всех целых чисел образует кольцо.
Расширив множество всех натуральных чисел до множества всех целых чисел, мы добились тем самым, что действие вычитания стало выполнимым всегда. Но деление по-прежнему осталось, вообще говоря, невыполнимым. Чтобы устранить этот пробел, нужно расширить и множество всех целых чисел. Сделать это можно путем присоединения к нему всех обыкновенных дробей, то есть чисел вида m /n, где т и п — произвольные целые числа и п =/= 0. В результате такого расширения мы получаем множество всех рациональных чисел. Как было показано во второй главе, в этом числовом множестве всегда выполнимы действия сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль), причем первые два из них подчинены пяти основным законам сложения и умножения.
Множество чисел, в котором всегда выполнимы действия сложения и умножения, подчиненные пяти основным законам, а также действия вычитания и деления (кроме деления на нуль), называется полем. Множество всех рациональных чисел является простейшим числовым полем.
Уместно сразу же заметить, что множество всех иррациональных чисел поля не образует. Действительно, любое из четырех действий (сложение, умножение, вычитание и деление) над иррациональными числами может привести к числу рациональному. Так, например,
и т. д. А вот множество всех действительных чисел образует поле. Как указывалось во второй главе, действия сложения, умножения, вычитания и деления действительных чисел (кроме деления на нуль) не выводят нас за пределы действительных чисел, причем сложение и умножение подчинены пяти основным законам.
Пусть а + b√ 2 и с + d√ 2 — произвольные два числа рассматриваемого вида. Тогда
Предположим теперь, что число с + d√ 2 не равно нулю. Тогда, очевидно, и сопряженное ему число с — d √ 2 будет отлично от нуля (докажите это!). Поэтому можно написать:
1967. Образует ли кольцо:
а) множество всех четных чисел;
б) множество всех нечетных чисел;
в) множество всех чисел, кратных некоторому числу р?
1968. Образует ли поле:
а) множество всех дробей со знаменателем 3;
б) множество всех дробей, знаменатели которых есть целые степени числа 3?
1969. Докажите, что множество всех конечных десятичных дробей образует кольцо, но не образует поле.
1970. Докажите, что любое числовое поле либо совпадает с множеством всех рациональных чисел, либо содержит в себе это множество.
а) все рациональные числа;
б) все иррациональные числа;
в) все действительные числа?
1967. а) Да; б) нет; в) да. 1968. а) Нет; б) нет.
Множество целых чисел поле
Мы видели, что действия над многочленами сводятся к действиям над их коэффициентами. При этом для сложения, вычитания и умножения многочленов достаточно трех арифметических действий — деление чисел не понадобилось. Так как сумма, разность и произведение двух действительных чисел снова являются действительными числами, то при сложении, вычитании и умножении многочленов с действительными коэффициентами в результате получаются многочлены с действительными же коэффициентами.
Однако не всегда приходится иметь дело с многочленами, имеющими любые действительные коэффициенты. Возможны случаи, когда по самой сути дела коэффициенты должны иметь лишь целые или лишь рациональные значения. В зависимости от того, какие значения коэффициентов считаются допустимыми, меняются свойства многочленов. Например, если рассматривать многочлены с любыми действительными коэффициентами, то 
можно разложить на множители:
Если же ограничиться многочленами с целыми коэффициентами, то разложение (1) не имеет смысла и мы должны считать многочлен 
неразложимым на множители.
Отсюда видно, что теория многочленов существенно зависит от того, какие коэффициенты считаются допустимыми. Далеко не любую совокупность коэффициентов можно принять за допустимую. Например, рассмотрим все многочлены, коэффициенты которых — нечетные целые числа. Ясно, что сумма двух таких многочленов уже не будет многочленом того же типа: ведь сумма нечетных чисел — четное число.
Поставим вопрос: каковы «хорошие» множества коэффициентов? Когда сумма, разность, произведение многочленов с коэффициентами данного типа имеют коэффициенты того же типа? Для ответа на этот вопрос введем понятие числового кольца.
Определение. Непустое множество чисел 
называется числовым кольцом, если вместе с любыми двумя числами а и 
оно содержит их сумму, разность и произведение. Это выражают также короче, говоря, что числовое кольцо замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения.
1) Множество целых чисел является числовым кольцом: сумма, разность и произведение целых чисел — целые числа. Множество же натуральных чисел числовым кольцом не является, так как разность натуральных чисел может быть отрицательной.
2) Множество всех рациональных чисел — числовое кольцо, так как сумма, разность и произведение рациональных чисел рациональны.
3) Образует числовое кольцо и множество всех действительных чисел.
4) Числа вида а 
где а и 
целые, образуют числовое кольцо. Это следует из соотношений:
5) Множество нечетных чисел не является числовым кольцом, так как сумма нечетных чисел четна. Множество же четных чисел — числовое кольцо.
Если числовое кольцо 
состоит не только из одного нуля и вместе с любыми двумя элементами а и 
где 
содержит и их частное 
, то 
называют числовым полем. Множества из примеров 2) и 3) — числовые поля. А множества целых чисел и всех четных чисел не являются числовыми полями. Например, частное 
— не является целым числом.
Алгебраические структуры: группы, кольца, поля
Непустое множество (чаще всего чисел) называется алгебраической структурой, если на нём определены какие-либо операции, которые обладают определёнными свойствами. В математике чаще всего рассматриваются такие алгебраические структуры, как группы, поля и кольца. Если понятие алгебраической структуры или вообще множества для вас совсем новое, лучше будет изучить уроки Множества и операции над множествами и Множества чисел.
Алгебраические структуры: группы
Группой называется конечное или бесконечное множество (чаще всего чисел), на котором:
1) определена операция (например, умножение), которую можно выполнить, не выходя за пределы группы;
2) для элементов множества выполняется сочетальный (ассоциативный) закон (для любых a, b, c верно равенство (ab)c = a(bc) ).
3) существует так называемый единичный элемент e;
4) для каждого элемента a из этого множества существует обратный элемент 
такой, что 
, при этом единственный.
Если в группе выполняется переместительный (коммутативный) закон (для любых a и b верно равенство ab = ba ), то такую группу называют коммутативной или абелевой группой.
Алгебраические структуры: кольца
У множеств комплексных чисел, действительных чисел, рациональных чисел и целых чисел есть общая особенность: в них можно выполнять операции сложения, умножения и вычитания, оставаясь в границах множества.
Каждое множество чисел, которое содержит сумму, произведение и разность любых двух своих чисел, называется кольцом.
Алгебраические структуры: поля
Числовое кольцо называется числовым полем, если оно содержит частное любых двух своих чисел (делитель предполагается отличным от нуля). Следовательно, можно говорить о поле рациональных чисел, поле действительных чисел, поле комплексных чисел, в то время как кольцо целых чисел полем не является.
Поле можно определить и следующим образом. Множество называют полем, если в этом множестве по меньшей мере два элемента и для них
1) определена операция сложения;
1′) определена операция умножения;
2) для сложения выполняется сочетательный (ассоциативный) закон;
2′) для умножения выполняется сочетательный (ассоциативный) закон;
3) для сложения выполнятся переместительный (коммутативный) закон;
3′) для умножения выполняется переместительный (коммутативный) закон;
4) выполнима операция вычитания;
4′) выполнима операция деления, кроме деления на нуль.
Алгебраические структуры часто называют просто «алгебрами». Их используют в абстрактном моделировании. В частности, они могут быть применены в программировании. Например, когда нужно определить свойства и правила какой-либо структуры и установить запрет на добавление в эту структуру элемента, которое (добавление) нарушило бы свойства и правила для этой структуры.
Какие числа называются целыми
Определение целых чисел
Что важно знать о целых числах:
Целые числа на числовой оси выглядят так:
На координатной прямой начало отсчета всегда начинается с точки 0. Слева находятся все отрицательные целые числа, справа — положительные. Каждой точке соответствует единственное целое число.
В любую точку прямой, координатой которой является целое число, можно попасть, если отложить от начала координат данное количество единичных отрезков.
Натуральные числа — это целые, положительные числа, которые мы используем для подсчета. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 + ∞.
Целые числа — это расширенное множество натуральных чисел, которое можно получить, если добавить к ним нуль и отрицательные числа. Множество целых чисел обозначают Z.
Выглядит эти ребята вот так:
Последовательность целых чисел можно записать так:
Свойства целых чисел
Таблица содержит основные свойства сложения и умножения для любых целых a, b и c: